Exposés de la semaine : une contrainte utile ou décorative ?
Le conseil de classe organise les exposés de cinq élèves de terminale - Ana, Ben, Chloé, Dan et Elsa - sur cinq créneaux, un par jour, du lundi au vendredi. Quatre règles ont été posées :
- Ben passe exactement deux jours après Ana.
- Chloé passe la veille de Dan.
- Dan ne passe pas le vendredi.
- Elsa ne passe ni le lundi ni le vendredi.
Un élève affirme : « Elsa passe forcément le jeudi. » Un autre objecte : « Si Ana passait lundi, il ne resterait aucune place pour Chloé et Dan, puisqu'ils doivent se suivre ; donc Ana n'est pas lundi. »
La documentaliste, qui doit imprimer les convocations, veut une réponse certaine et une seule. Elle vous demande aussi de lui dire si la règle 4 sert vraiment à quelque chose, car elle soupçonne le règlement d'être redondant.
1. Déterminer l'ordre des cinq exposés. Justifier par une discussion des cas possibles pour la position d'Ana.
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Méthode : discuter la place d'Ana, puisque Ben en découle mécaniquement. Ben = Ana + 2 jours impose Ana ∈ {lundi, mardi, mercredi}.
Cas 1 - Ana lundi, Ben mercredi. Restent mardi, jeudi, vendredi. Chloé doit précéder Dan d'un jour : la seule paire consécutive disponible est jeudi–vendredi, ce qui placerait Dan le vendredi - interdit par la règle 3. Cas éliminé.
Cas 2 - Ana mardi, Ben jeudi. Restent lundi, mercredi, vendredi : aucune paire de jours consécutifs libres (lundi–mardi : mardi pris ; mercredi–jeudi : jeudi pris ; jeudi–vendredi : jeudi pris). Cas éliminé.
Cas 3 - Ana mercredi, Ben vendredi. Restent lundi, mardi, jeudi. Jeudi n'a pas de lendemain libre, donc Chloé–Dan occupe lundi–mardi : Chloé lundi, Dan mardi. Elsa prend le jeudi, ce qui respecte la règle 4.
Solution unique : lundi Chloé, mardi Dan, mercredi Ana, jeudi Elsa, vendredi Ben.
Contrôles de cohérence. Ben est bien deux jours après Ana (mercredi → vendredi) ; Dan n'est pas le vendredi ; Elsa est le jeudi. L'affirmation de l'élève est donc exacte.
2. L'argument de l'élève (« si Ana était lundi, il ne resterait aucune place pour Chloé et Dan ») est-il valide ? Distinguez la vérité de la conclusion et la validité du raisonnement.
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La conclusion est vraie, le raisonnement ne l'est pas. Il faut séparer les deux questions : une conclusion exacte peut être tirée d'un argument invalide, et une copie de concours perd les points de justification dans ce cas.
Test du cas prétendument impossible. Supposons Ana lundi. Alors Ben mercredi. Les créneaux restants sont mardi, jeudi, vendredi. La paire jeudi–vendredi est parfaitement disponible et convient à Chloé la veille de Dan : elle placerait simplement Dan le vendredi. Il reste donc bien « une place » pour Chloé et Dan : l'affirmation est factuellement fausse.
Le vrai motif d'exclusion. C'est la règle 3 (Dan ≠ vendredi) qui élimine ce cas, et non un manque de place. L'élève a écarté le bon cas pour une mauvaise raison : il a raison par accident.
Pourquoi cela compte. Un raisonnement valide doit épuiser les possibilités en citant explicitement la règle qui les élimine. La justification avancée ici interdirait, si on la généralisait, des configurations parfaitement légitimes.
Formulation correcte : « Si Ana passait lundi, Chloé et Dan devraient occuper jeudi et vendredi, ce qui mettrait Dan le vendredi, contrairement à la règle 3 ; donc Ana n'est pas lundi. »
3. La règle 4 est-elle utile ? Déterminer le nombre de solutions si on la supprime, et indiquer quelle règle porte réellement l'unicité.
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Question posée : la règle 4 (« Elsa ni lundi ni vendredi ») est-elle nécessaire à l'unicité de la solution ?
Reprise de l'énumération sans la règle 4.
- Ana lundi, Ben mercredi : Chloé–Dan devrait occuper jeudi–vendredi → Dan vendredi, interdit par la règle 3. Éliminé.
- Ana mardi, Ben jeudi : aucune paire consécutive libre. Éliminé.
- Ana mercredi, Ben vendredi : Chloé–Dan occupe lundi–mardi, Elsa reste jeudi.
Conclusion. Il n'y a toujours qu'une solution, et Elsa y est de toute façon le jeudi : la règle 4 est redondante. Elle n'élimine aucun cas supplémentaire ; elle rassure le lecteur mais n'a aucun pouvoir déductif ici.
Contre-épreuve. Si l'on supprimait plutôt la règle 3, deux solutions apparaîtraient : (lundi Chloé, mardi Elsa, mercredi Ana, jeudi Chloé impossible) - plus précisément Ana lundi/Ben mercredi avec Elsa mardi, Chloé jeudi, Dan vendredi, et Ana mercredi/Ben vendredi avec Chloé lundi, Dan mardi, Elsa jeudi. C'est donc la règle 3, et non la règle 4, qui porte l'unicité.
Réponse à la documentaliste. Une seule convocation possible : lundi Chloé, mardi Dan, mercredi Ana, jeudi Elsa, vendredi Ben.