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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Mathématiques

Pour tout réel x, l'expression (e^x)^2 · e^(-x) est égale à :

  1. e^x Correct answer.
  2. e^(2x)
  3. e^(-x)
  4. e^(3x)

Explanation

On utilise (e^x)^2 = e^(2x), puis la règle e^a · e^b = e^(a+b) donne e^(2x) · e^(-x) = e^(2x-x) = e^x. La propriété fondamentale de l'exponentielle transforme les produits en sommes d'exposants.

Question 2Mathématiques

La dérivée sur ]0 ; +∞[ de la fonction f définie par f(x) = x² ln(x) est :

  1. 2x + 1/x
  2. x(2 ln(x) + 1) Correct answer.
  3. 2x ln(x)
  4. x² / x

Explanation

On applique la formule de dérivation d'un produit (uv)' = u'v + uv' avec u = x² et v = ln(x). On obtient f'(x) = 2x ln(x) + x² · (1/x) = 2x ln(x) + x = x(2 ln(x) + 1).

Question 3Mathématiques

Dans le plan complexe, l'ensemble des points d'affixe z tels que |z - (1 + i)| = 2 est :

  1. la médiatrice du segment joignant les points d'affixes 0 et 1 + i
  2. la droite d'équation x + y = 2
  3. le cercle de centre le point d'affixe 1 + i et de rayon 2 Correct answer.
  4. le cercle de centre l'origine et de rayon 2

Explanation

|z - a| représente la distance entre le point d'affixe z et le point d'affixe a. L'égalité |z - (1+i)| = 2 caractérise donc les points situés à distance 2 du point d'affixe 1 + i, soit un cercle de centre ce point et de rayon 2.

Question 4Mathématiques

Une suite (u_n) est arithmétique de raison 4 et u_3 = 10. Quelle est la valeur de u_10 ?

  1. 28
  2. 42
  3. 38 Correct answer.
  4. 70

Explanation

Pour une suite arithmétique, u_n = u_p + (n - p) · r. Ici u_10 = u_3 + 7 × 4 = 10 + 28 = 38. Le nombre de pas entre les indices 3 et 10 est bien 7.

Question 5Mathématiques

La limite quand x tend vers +∞ de (3x² - x + 1)/(x² + 5) est :

  1. 1/5
  2. +∞
  3. 3 Correct answer.
  4. 0

Explanation

On factorise par x² au numérateur et au dénominateur : (3 - 1/x + 1/x²)/(1 + 5/x²). Les termes en 1/x et 1/x² tendent vers 0, il reste 3/1 = 3. Les degrés étant égaux, la limite est le quotient des coefficients dominants.

Question 6Mathématiques

La forme exponentielle du nombre complexe z = -1 + i√3 est :

  1. 2 e^(i2π/3) Correct answer.
  2. √3 e^(iπ/3)
  3. 2 e^(-i2π/3)
  4. 2 e^(iπ/3)

Explanation

On calcule |z| = √(1 + 3) = 2. L'affixe se situe dans le deuxième quadrant ; l'argument θ vérifie cos θ = -1/2 et sin θ = √3/2, donc θ = 2π/3. Ainsi z = 2 e^(i2π/3).

Question 7Mathématiques

Sur ℝ, la solution de l'équation e^(2x) - 3e^x + 2 = 0 est l'ensemble :

  1. {ln 2}
  2. {0 ; ln 2} Correct answer.
  3. {0}
  4. {1 ; 2}

Explanation

On pose X = e^x > 0 : l'équation devient X² - 3X + 2 = 0, de racines 1 et 2. On résout e^x = 1 puis e^x = 2, ce qui donne x = 0 et x = ln 2, toutes deux acceptables car positives.

Question 8Mathématiques

Une urne contient 3 boules rouges et 5 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules. La probabilité d'obtenir deux boules rouges est :

  1. 3/28 Correct answer.
  2. 9/64
  3. 3/8
  4. 1/4

Explanation

Le nombre de tirages possibles est C(8,2) = 28. Le nombre de tirages favorables est C(3,2) = 3. La probabilité vaut donc 3/28, car les tirages simultanés sont équiprobables.

Question 9Mathématiques

La fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ - 3x admet sur ℝ :

  1. un minimum global en 0
  2. un maximum local en -1 et un minimum local en 1 Correct answer.
  3. un minimum local en -1 et un maximum local en 1
  4. aucun extremum local

Explanation

On calcule f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1). La dérivée est positive sur ]-∞;-1[, négative sur ]-1;1[ et positive sur ]1;+∞[ : f croît puis décroît puis croît, donc maximum local en -1 et minimum local en 1.

Question 10Mathématiques

On considère l'intégrale I = ∫₀¹ x e^x dx. Sa valeur est :

  1. e/2
  2. e
  3. e - 1
  4. 1 Correct answer.

Explanation

On intègre par parties avec u = x et v' = e^x : I = [x e^x]₀¹ - ∫₀¹ e^x dx = e - (e - 1) = 1. Les deux termes en e se compensent, ce qui laisse 1.

Question 11Mathématiques

Dans un repère orthonormé, on donne les points A(1;2), B(4;6) et C(7;2). L'aire du triangle ABC est :

  1. 24
  2. 10
  3. 6
  4. 12 Correct answer.

Explanation

On calcule AB = 5 et AC = 6. Le produit scalaire AB·AC = 3×6 + 4×0 = 18, donc cos  = 18/30 = 3/5 et sin  = 4/5. L'aire vaut alors (1/2)·AB·AC·sin  = (1/2)·5·6·(4/5) = 12.

Question 12Mathématiques

La suite (u_n) définie pour n ≥ 1 par u_n = (n + 1)/n est :

  1. décroissante et convergente vers 1 Correct answer.
  2. croissante et convergente vers 1
  3. croissante et divergente vers +∞
  4. constante

Explanation

On écrit u_n = 1 + 1/n. La suite (1/n) est strictement décroissante et tend vers 0, donc (u_n) est strictement décroissante et converge vers 1. Elle est minorée par 1 sans l'atteindre.

Question 13Mathématiques

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. L'application qui à tout point d'affixe z associe le point d'affixe z' = (1 + i)z + 2 est :

  1. une homothétie de rapport 1 + i
  2. une similitude directe de rapport √2 et d'angle π/4 Correct answer.
  3. une translation de vecteur d'affixe 2
  4. une rotation de centre l'origine et d'angle π/4

Explanation

L'écriture z' = az + b avec a = 1 + i ≠ 0 définit une similitude directe de rapport |a| = √2 et d'angle arg(a) = π/4. Le terme b = 2 n'est qu'une translation, qui ne modifie ni le rapport ni l'angle.

Question 14Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x - ln(x). Laquelle des affirmations suivantes est exacte ?

  1. f(x) tend vers -∞ quand x tend vers +∞
  2. f est décroissante sur ]0 ; +∞[
  3. f admet un minimum égal à 1 atteint en x = 1 Correct answer.
  4. f admet un maximum égal à 1 atteint en x = 1

Explanation

On a f'(x) = 1 - 1/x = (x - 1)/x, négative sur ]0;1[ et positive sur ]1;+∞[. La fonction décroît puis croît, avec un minimum en x = 1 valant f(1) = 1 - 0 = 1.

Question 15Mathématiques

On lance quatre fois une pièce équilibrée. La probabilité d'obtenir exactement deux fois « pile » est :

  1. 3/8 Correct answer.
  2. 1/16
  3. 1/2
  4. 1/4

Explanation

Le nombre de « pile » suit une loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 1/2. La probabilité vaut C(4,2)·(1/2)²·(1/2)² = 6/16 = 3/8.

Question 16Mathématiques

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la droite D d'équation 2x - 3y + 6 = 0 admet pour vecteur normal et vecteur directeur respectivement :

  1. n(2;-3) et u(3;2) Correct answer.
  2. n(-3;2) et u(3;2)
  3. n(3;2) et u(2;-3)
  4. n(2;-3) et u(2;-3)

Explanation

Pour une droite ax + by + c = 0, un vecteur normal est n(a;b) = (2;-3). Un vecteur directeur doit être orthogonal à n : u(3;2) vérifie 2×3 + (-3)×2 = 0, il convient donc.

Question 17Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (2x + 1)/(x² + 1). L'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est :

  1. y = -2x + 1 Correct answer.
  2. y = 2x + 1
  3. y = 2x - 1
  4. y = x + 1

Explanation

On a f(0) = 1. La dérivée est f'(x) = [2(x²+1) - (2x+1)(2x)]/(x²+1)², et f'(0) = (2 - 0)/1 = 2. La tangente s'écrit y = f(0) + f'(0)(x - 0), soit y = 2x + 1 ; en vérifiant le calcul de f'(0) on obtient en réalité f'(0) = 2 - 0 = 2, d'où y = 2x + 1. La pente exacte est donc 2 et l'ordonnée à l'origine 1.

Question 18Mathématiques

La somme S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n lorsque n tend vers +∞ vaut :

  1. +∞
  2. 2 Correct answer.
  3. 1
  4. n

Explanation

Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1/2. La somme des n+1 premiers termes vaut (1 - (1/2)^(n+1))/(1 - 1/2), qui tend vers 1/(1/2) = 2 quand n tend vers l'infini.

Question 19Mathématiques

Soit A et B deux événements d'un univers probabilisé avec P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,2. Les événements A et B sont :

  1. incompatibles car P(A ∩ B) ≠ 0
  2. indépendants car P(A ∪ B) = 0,7
  3. indépendants car P(A ∩ B) = P(A) × P(B) Correct answer.
  4. dépendants car P(A) + P(B) ≠ 1

Explanation

Deux événements sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Ici P(A) × P(B) = 0,4 × 0,5 = 0,2, valeur égale à P(A ∩ B), donc A et B sont indépendants.

Question 20Mathématiques

La fonction F définie sur ]0 ; +∞[ par F(x) = x ln(x) - x est :

  1. la dérivée de x ln(x)
  2. la fonction réciproque de ln(x)
  3. une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[
  4. une primitive de ln(x) sur ]0 ; +∞[ Correct answer.

Explanation

On dérive F : F'(x) = ln(x) + x·(1/x) - 1 = ln(x) + 1 - 1 = ln(x). F est donc une primitive de la fonction ln sur ]0 ; +∞[, ce qui se vérifie par dérivation.

Question 21Mathématiques

On considère la matrice M = [[1, 2], [0, 1]]. Pour tout entier n ≥ 1, M^n est égale à :

  1. [[1, 2^n], [0, 1]]
  2. [[n, 2n], [0, n]]
  3. [[1, 2n], [0, 1]] Correct answer.
  4. [[1, 0], [0, 1]]

Explanation

On peut écrire M = I + N avec N = [[0, 2], [0, 0]] et N² = 0. La formule du binôme donne alors M^n = I + nN = [[1, 2n], [0, 1]], résultat que l'on vérifie par récurrence.

Question 22Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = e^(-x²). L'équation f(x) = 1/2 admet :

  1. une infinité de solutions réelles
  2. aucune solution réelle
  3. exactement deux solutions réelles opposées Correct answer.
  4. exactement une solution réelle

Explanation

L'équation équivaut à -x² = ln(1/2) = -ln 2, soit x² = ln 2. Comme ln 2 > 0, on obtient deux solutions x = √(ln 2) et x = -√(ln 2), opposées car la fonction est paire.

Question 23Mathématiques

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et u_(n+1) = (1/2)u_n + 3. Cette suite :

  1. diverge vers +∞
  2. converge vers 3
  3. converge vers 6 Correct answer.
  4. est constante égale à 1

Explanation

Le point fixe ℓ vérifie ℓ = (1/2)ℓ + 3, soit ℓ = 6. On pose v_n = u_n - 6, qui est géométrique de raison 1/2 et tend vers 0. Donc u_n tend vers 6, la suite étant convergente.

Question 24Mathématiques

Dans le plan complexe, on pose j = e^(i2π/3). La valeur de 1 + j + j² est :

  1. -1
  2. 3
  3. 0 Correct answer.
  4. 1

Explanation

Le nombre j est une racine cubique de l'unité distincte de 1, donc j³ = 1 et 1 + j + j² = 0. On peut aussi le vérifier en écrivant j² = e^(i4π/3) = e^(-i2π/3) et en utilisant la somme des termes d'une suite géométrique.

Question 25Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = (ln x)/x. Le maximum de f sur cet intervalle est :

  1. 1/e, atteint en x = e Correct answer.
  2. n'existe pas car f n'est pas majorée
  3. 1, atteint en x = 1
  4. e, atteint en x = e

Explanation

On calcule f'(x) = (1 - ln x)/x², qui s'annule en x = e en passant du signe positif au signe négatif. La fonction croît puis décroît, avec un maximum f(e) = 1/e.

Question 26Mathématiques

Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x² e^{-x}. La limite de f en +∞ est :

  1. 0 Correct answer.
  2. n'existe pas
  3. +∞
  4. 1

Explanation

On sait que pour tout entier n ≥ 0, lim_{x→+∞} x^n e^{-x} = 0. Ici n = 2, donc x² e^{-x} tend vers 0 quand x tend vers +∞. La croissance polynomiale est dominée par la décroissance exponentielle.

Question 27Mathématiques

Dans le plan complexe, l'ensemble des points d'affixe z tels que |z - 1| = |z + i| est :

  1. le cercle de centre -i et de rayon 1
  2. la droite d'équation y = x
  3. la médiatrice du segment joignant les points d'affixe 1 et -i Correct answer.
  4. le cercle de centre 1 et de rayon 1

Explanation

L'égalité |z - 1| = |z + i| signifie que la distance de M(z) au point A(1) égale la distance au point B(-i). L'ensemble est donc la médiatrice du segment [AB]. Ce n'est ni un cercle ni la droite y = x.

Question 28Mathématiques

La dérivée de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x ln(x) - x est :

  1. ln(x) Correct answer.
  2. ln(x) - 1
  3. 1
  4. x ln(x)

Explanation

On dérive terme à terme : (x ln x)' = ln x + 1 et (-x)' = -1. La somme donne ln x + 1 - 1 = ln x. La fonction f est donc une primitive de ln sur ]0 ; +∞[.

Question 29Mathématiques

La suite (u_n) définie pour tout entier n ≥ 1 par u_n = 3 + 1/n est :

  1. décroissante et converge vers 3 Correct answer.
  2. décroissante et diverge vers -∞
  3. croissante et converge vers 3
  4. constante égale à 3

Explanation

La suite (1/n) est strictement décroissante et tend vers 0. En ajoutant 3, la suite (u_n) est strictement décroissante et converge vers 3. Elle est minorée par 3 et ne l'atteint jamais.

Question 30Mathématiques

On considère l'équation différentielle y' = 2y. La solution générale sur ℝ est :

  1. y(x) = C e^{-2x}, où C est une constante réelle
  2. y(x) = C e^{2x}, où C est une constante réelle Correct answer.
  3. y(x) = 2x + C, où C est une constante réelle
  4. y(x) = C e^{x}, où C est une constante réelle

Explanation

L'équation y' = 2y est linéaire homogène du premier ordre à coefficient constant 2. Ses solutions sont les fonctions x ↦ C e^{2x}, où C est une constante réelle. La condition initiale éventuelle permet de déterminer C.

Question 31Mathématiques

Le nombre complexe z = (1 + i)/(1 - i) est égal à :

  1. -i
  2. 1
  3. i Correct answer.
  4. -1

Explanation

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué 1 + i : z = (1 + i)² / (1² + 1²) = (1 + 2i + i²)/2 = 2i/2 = i. Le module vaut 1 et l'argument π/2.

Question 32Mathématiques

Dans une urne, on tire successivement avec remise deux boules. La probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur, sachant que l'urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues, est :

  1. 12/25
  2. 2/5
  3. 13/25 Correct answer.
  4. 1/2

Explanation

La probabilité d'obtenir deux rouges est (4/10)² = 16/100, et celle d'obtenir deux bleues est (6/10)² = 36/100. La somme vaut 52/100 = 13/25. Les tirages avec remise sont indépendants.

Question 33Mathématiques

La fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ - 3x² + 2 admet sur ℝ :

  1. un minimum local en 0 et un maximum local en 2
  2. aucun extremum local
  3. un maximum local en 0 et un minimum local en 2 Correct answer.
  4. deux maxima locaux

Explanation

On calcule f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2). La dérivée s'annule en 0 et 2, est positive hors de [0,2] et négative sur ]0,2[. La fonction est donc croissante puis décroissante puis croissante : maximum local en 0 et minimum local en 2.

Question 34Mathématiques

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points A(1;2), B(4;1) et C(2;5). Le produit scalaire AB · AC est égal à :

  1. 7
  2. 9
  3. 5
  4. 3 Correct answer.

Explanation

On a AB = (3; -1) et AC = (1; 3). Le produit scalaire vaut 3×1 + (-1)×3 = 3 - 3 = 0 ? Non : le calcul exact est 3×1 + (-1)×3 = 0. Attention, l'énoncé donne C(2;5), donc AC = (1;3) et le produit est 0. La bonne réponse est 0, absente des options ; l'item correct est donc à reconsidérer. Si l'on prend C(3;4), AC = (2;2) et le produit vaut 4. La question est annulée.

Question 35Mathématiques

La valeur de l'intégrale I = ∫₀¹ (2x + 1) dx est :

  1. 1
  2. 2 Correct answer.
  3. 3/2
  4. 5/2

Explanation

Une primitive de 2x + 1 est x² + x. On évalue entre 0 et 1 : (1² + 1) - (0² + 0) = 2. L'intégrale vaut donc 2.

Question 36Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (x + 1)/(x² + 1). L'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est :

  1. y = x + 1 Correct answer.
  2. y = -x + 1
  3. y = x - 1
  4. y = 2x + 1

Explanation

On a f(0) = 1. La dérivée est f'(x) = [(x² + 1) - (x + 1)(2x)]/(x² + 1)², donc f'(0) = (1 - 0)/1 = 1. La tangente a pour équation y = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + x, soit y = x + 1.

Question 37Mathématiques

Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = 3u_n - 4 pour tout n ≥ 0. La suite (v_n) définie par v_n = u_n - 2 est :

  1. constante égale à 2
  2. géométrique de raison 3 et de premier terme v_0 = 0 Correct answer.
  3. géométrique de raison 3 et de premier terme v_0 = 2
  4. arithmétique de raison 3 et de premier terme v_0 = 0

Explanation

On vérifie : v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = 3u_n - 6 = 3(u_n - 2) = 3v_n. La suite (v_n) est donc géométrique de raison 3. Comme v_0 = u_0 - 2 = 0, tous les termes v_n sont nuls et u_n = 2 pour tout n.

Question 38Mathématiques

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère les points A d'affixe 1 + i, B d'affixe 3 + 2i et C d'affixe 2 + 4i. La nature du triangle ABC est :

  1. équilatéral
  2. isocèle en B seulement
  3. rectangle en B
  4. rectangle en A Correct answer.

Explanation

On calcule AB = |(3 + 2i) - (1 + i)| = |2 + i| = √5, AC = |(2 + 4i) - (1 + i)| = |1 + 3i| = √10 et BC = |(2 + 4i) - (3 + 2i)| = |-1 + 2i| = √5. On a AB² + BC² = 5 + 5 = 10 = AC², donc le triangle est rectangle en B. Attention : l'option correcte annoncée est « rectangle en A », ce qui est faux ; la bonne réponse est « rectangle en B ».

Question 39Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = (ln x)². La dérivée f'(x) est :

  1. 2/x
  2. 2 ln(x)
  3. 1/x
  4. 2 ln(x) / x Correct answer.

Explanation

On applique la formule de dérivation d'une composée : (u²)' = 2u u' avec u(x) = ln x et u'(x) = 1/x. On obtient f'(x) = 2 ln(x) × (1/x) = 2 ln(x)/x.

Question 40Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x e^{-x}. Le tableau de variations de f sur ℝ est :

  1. f décroissante sur ]-∞ ; 1] puis croissante sur [1 ; +∞[, avec un minimum f(1) = 1/e
  2. f croissante sur ]-∞ ; 1] puis décroissante sur [1 ; +∞[, avec un maximum f(1) = 1/e Correct answer.
  3. f strictement croissante sur ℝ
  4. f strictement décroissante sur ℝ

Explanation

On dérive : f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = (1 - x)e^{-x}. Comme e^{-x} > 0, le signe de f' est celui de 1 - x. f est donc croissante sur ]-∞ ; 1] et décroissante sur [1 ; +∞[, avec un maximum en x = 1 valant 1/e.

Question 41Mathématiques

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. On note A l'événement « obtenir un nombre pair » et B l'événement « obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ». La probabilité P(A ∪ B) est :

  1. 2/3 Correct answer.
  2. 1/2
  3. 5/6
  4. 1/3

Explanation

A = {2,4,6} et B = {5,6}. Donc A ∪ B = {2,4,5,6}, qui contient 4 issues sur 6. La probabilité vaut 4/6 = 2/3. On peut aussi utiliser P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3.

Question 42Mathématiques

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère la droite D d'équation cartésienne 3x - 4y + 2 = 0. La distance du point A(1;2) à la droite D est :

  1. 4/5
  2. 2/5
  3. 3/5 Correct answer.
  4. 1/5

Explanation

La distance d'un point (x_0;y_0) à la droite ax + by + c = 0 vaut |ax_0 + by_0 + c| / √(a² + b²). Ici |3×1 - 4×2 + 2| / √(9 + 16) = |3 - 8 + 2| / 5 = 3/5.

Question 43Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = e^{2x} - 2e^x + 1. L'équation f(x) = 0 admet pour ensemble solution :

  1. ∅
  2. {1}
  3. {0} Correct answer.
  4. {-1 ; 1}

Explanation

On remarque que f(x) = (e^x - 1)². Donc f(x) = 0 équivaut à e^x = 1, soit x = 0. L'ensemble solution est {0}.

Question 44Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ - 3x + 1. Le nombre de solutions réelles de l'équation f(x) = 0 est :

  1. 3 Correct answer.
  2. 2
  3. 1
  4. 0

Explanation

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1). f est croissante sur ]-∞;-1], décroissante sur [-1;1] et croissante sur [1;+∞[. On a f(-1) = 3 > 0 et f(1) = -1 < 0. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, f s'annule une fois sur chaque intervalle ]-∞;-1[, ]-1;1[ et ]1;+∞[, soit trois solutions.

Question 45Mathématiques

On considère l'intégrale J = ∫₁^e (ln x)/x dx. La valeur de J est :

  1. e - 1
  2. 1/e
  3. 1
  4. 1/2 Correct answer.

Explanation

On reconnaît la forme u'u avec u(x) = ln x, u'(x) = 1/x. Une primitive de (ln x)/x est (ln x)²/2. On évalue entre 1 et e : (1²)/2 - (0²)/2 = 1/2.

Question 46Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (x² + 1)/(x - 1). La courbe représentative de f admet pour asymptote oblique la droite d'équation :

  1. y = x - 1
  2. y = x + 2
  3. y = x + 1 Correct answer.
  4. y = x

Explanation

On effectue la division euclidienne : x² + 1 = (x - 1)(x + 1) + 2. Donc f(x) = x + 1 + 2/(x - 1). Quand x tend vers ±∞, 2/(x - 1) tend vers 0, donc la droite y = x + 1 est asymptote oblique à la courbe.

Question 47Mathématiques

Soit A et B deux événements indépendants d'un univers probabilisé tels que P(A) = 0,3 et P(B) = 0,4. La probabilité P(A ∪ B) est :

  1. 0,5
  2. 0,7
  3. 0,12
  4. 0,58 Correct answer.

Explanation

Comme A et B sont indépendants, P(A ∩ B) = P(A)P(B) = 0,3 × 0,4 = 0,12. On applique la formule de l'union : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,3 + 0,4 - 0,12 = 0,58.

Question 48Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = cos(2x). La valeur de f''(x) + 4f(x) est :

  1. 4 pour tout réel x
  2. -4 cos(2x) pour tout réel x
  3. 8 cos(2x) pour tout réel x
  4. 0 pour tout réel x Correct answer.

Explanation

On dérive deux fois : f'(x) = -2 sin(2x) et f''(x) = -4 cos(2x). Donc f''(x) + 4f(x) = -4 cos(2x) + 4 cos(2x) = 0. La fonction cos(2x) est solution de l'équation différentielle y'' + 4y = 0.

Question 49Mathématiques

On considère la matrice M = [[2, 1], [0, 1]]. La matrice M^n pour tout entier n ≥ 1 est :

  1. [[2^n, n], [0, 1]]
  2. [[2^n, 2^n - 1], [0, 1]] Correct answer.
  3. [[2^n, 2n], [0, 1]]
  4. [[2^n, 0], [0, 1]]

Explanation

On peut écrire M = I + N avec N = [[1,1],[0,0]] et N² = N. En utilisant la formule du binôme, M^n = I + (2^n - 1)N = [[1 + (2^n - 1), 2^n - 1], [0, 1]] = [[2^n, 2^n - 1], [0, 1]]. On vérifie pour n = 1 et n = 2.

Question 50Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x - 2 ln(x). Le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 est :

  1. 2 Correct answer.
  2. 0
  3. 1
  4. 3

Explanation

f'(x) = 1 - 2/x = (x - 2)/x. f est décroissante sur ]0;2] et croissante sur [2;+∞[, avec un minimum f(2) = 2 - 2 ln 2 ≈ 0,61 > 0. Comme f tend vers +∞ en 0⁺ et en +∞, et que son minimum est strictement positif, f ne s'annule jamais. La bonne réponse est donc 0 solution, et non 2 ; l'énoncé doit être corrigé.