Mathématiques
L'épreuve de mathématiques du concours Puissance Alpha prend la forme d'un QCM portant sur le programme de spécialité mathématiques de Terminale ; les candidats ayant suivi l'option mathématiques expertes peuvent rencontrer des questions d'arithmétique ou de matrices. L'enjeu n'est pas seulement de savoir démontrer, mais de trancher vite et juste : la plupart des items se résolvent en une à deux minutes, souvent sans calculatrice, ce qui valorise les raisonnements structurels (parité, signe, ordre de grandeur, élimination des propositions visiblement fausses).
Analyse : limites, dérivées, intégrales
- Croissances comparées en +∞ : ln x ≪ x^a ≪ e^x ; en 0+, x ln x → 0.
- Dérivées composées : (e^u)' = u'e^u et (ln u)' = u'/u ; la convexité se lit sur le signe de f''.
- Intégrale : lien primitive-intégrale, aire entre deux courbes, valeur moyenne sur un intervalle.
Suites et probabilités
- Suite arithmético-géométrique u(n+1) = a·u(n) + b : on cherche le point fixe ℓ = b/(1−a), puis v(n) = u(n) − ℓ est géométrique.
- Arbre pondéré, formule des probabilités totales ; l'indépendance se démontre par le calcul, elle ne se suppose jamais.
- Loi binomiale B(n ; p) : espérance np, variance np(1−p).
Nombres complexes
- Module, argument, forme exponentielle ; |zB − zA| = AB et arg((zC − zA)/(zB − zA)) fournit une mesure d'angle orienté.
Exemple rédigé
Soit z = (1 + i√3)/(1 − i). En passant aux modules et arguments : |1 + i√3| = 2 avec arg = π/3, et |1 − i| = √2 avec arg = −π/4. Donc |z| = 2/√2 = √2 et arg z = π/3 + π/4 = 7π/12. Contrôle par la forme algébrique : z = (1 + i√3)(1 + i)/2 = (1 − √3)/2 + i(1 + √3)/2, et l'on vérifie que ((1 − √3)² + (1 + √3)²)/4 = 8/4 = 2 = |z|². Les deux méthodes concordent : en QCM, la plus rapide suffit si elle est fiable.
Pièges qui coûtent des points
- Confondre P(A|B) et P(B|A), ou conclure à l'indépendance sans calcul.
- Oublier le domaine de définition (ln x exige x > 0) et les valeurs interdites.
- Donner un argument modulo π au lieu de 2π, ou oublier une des deux solutions d'une équation en z².
- Multiplier une inéquation par une quantité de signe inconnu sans discuter le signe.