L’erreur de Léo : ajouter 3 cm à chaque côté
En CM1, 28 élèves. L’enseignant propose ce problème : « Un carré a un côté de 7 cm. On augmente chaque côté de 3 cm. De combien augmente l’aire ? » Sur les 28 copies, 14 donnent 12 cm² (3 × 4), 7 donnent 21 cm² (3 × 7), 4 donnent 51 cm² (10² − 7²), 3 laissent vide. Léo explique : « J’ai ajouté 3 cm à chaque côté, donc l’aire augmente de 3 × 4 = 12. » L’enseignant dispose de 50 minutes le lendemain. Il veut faire évoluer les conceptions sans donner la formule. Deux élèves ont trouvé 51 cm² et s’ennuient. La classe a déjà travaillé le périmètre et dispose de papier quadrillé, de ciseaux et de carrés de 7 cm de côté.
1. Analysez l’origine des erreurs des élèves qui répondent 12 cm² ou 21 cm².
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Les réponses 12 cm² et 21 cm² révèlent un raisonnement additif et une confusion entre périmètre et aire. 3 × 4 correspond à l’ajout de 3 cm sur les quatre côtés, donc au périmètre, pas à l’aire. 3 × 7 revient à multiplier l’ancien côté par l’augmentation, comme si l’aire augmentait d’une bande de 7 cm sur 3 cm, en oubliant les deux autres bandes et le carré d’angle. L’aire est une grandeur produit : elle évolue comme le carré du côté. Les élèves traitent l’aire comme une longueur. Il faut donc confronter les deux grandeurs et rendre visible la surface ajoutée.
2. Construisez une séance de 50 minutes pour faire avancer la classe. Décrivez les étapes et le rôle du matériel.
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Étape 1 (10 min) : chaque élève dessine le carré de 7 cm sur papier quadrillé et colorie l’aire. Étape 2 (15 min) : ajouter 3 cm à chaque côté, découper la surface nouvelle, séparer les morceaux : deux bandes de 7 × 3, deux bandes de 3 × 7 et un carré de 3 × 3. Les élèves constatent 51 cm². Étape 3 (10 min) : comparer avec les réponses initiales, formuler la différence entre longueur et aire. Étape 4 (15 min) : les élèves qui ont trouvé 51 cm² expliquent au tableau et proposent un autre côté (par exemple 5 cm). Institutionnalisation : l’aire ne s’ajoute pas comme les longueurs.
3. Comment évaluer la compréhension sans répéter le même problème ?
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Je propose un problème de transfert : un rectangle de 6 cm sur 4 cm dont on augmente la longueur de 2 cm. Les élèves doivent prévoir l’augmentation de l’aire, puis vérifier par découpage. Je demande un écrit explicatif : « Pourquoi 2 × 4 ne suffit-il pas ? » J’évalue la capacité à distinguer longueur et surface, à utiliser un schéma et à vérifier. Les élèves avancés peuvent chercher le cas général. Une grille critériée (schéma, calcul, justification) évite de ne juger que le résultat.