Depósito de base cuadrada: óptimo matemático frente a límite de material
Una empresa necesita un depósito abierto, sin tapa, de base cuadrada, para almacenar 32 m³ de agua de proceso. El fondo se fabrica con lámina de acero inoxidable que cuesta Q 480 por metro cuadrado; las cuatro paredes se fabrican con lámina galvanizada de Q 300 por metro cuadrado. El proveedor local solo tiene lámina galvanizada en rollos de 2.00 m de altura útil, de modo que la altura del depósito no puede exceder ese valor. El área disponible en el patio permite una base de hasta 5 m por lado. El jefe de mantenimiento propone una base de 4.00 m × 4.00 m y 2.00 m de altura 'porque son números redondos y el volumen sale exacto'. El gerente de proyectos pide verificar si esa elección es la más económica o si conviene pedir al proveedor rollos de mayor altura, lo que implicaría un recargo fijo de Q 3 500 y dos semanas adicionales de plazo. El depósito debe quedar terminado antes de la temporada de lluvias.
1. Plantee la función de costo total en términos del lado de la base x y determine las dimensiones que minimizan el costo si no existiera la restricción de altura. Verifique que se trata de un mínimo.
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Variables: x = lado de la base (m), h = altura (m).
Restricción de volumen: x²h = 32 ⇒ h = 32/x², con x > 0.
Función de costo: el fondo cuesta 480·x² y las cuatro paredes 300·(4xh):
C(x) = 480x² + 1200x·(32/x²) = 480x² + 38 400/x
Optimización: C'(x) = 960x − 38 400/x². Igualando a cero: 960x³ = 38 400 ⇒ x³ = 40 ⇒ x ≈ 3.42 m, y h = 32/3.42² ≈ 2.74 m.
Verificación: C''(x) = 960 + 76 800/x³ > 0 para todo x > 0, por lo que la función es convexa en el dominio y el punto crítico es un mínimo global.
Costo: C(3.42) ≈ 480(11.70) + 38 400/3.42 ≈ 5 616 + 11 228 ≈ Q 16 844.
2. Aplique la restricción h ≤ 2.00 m, encuentre el diseño factible de costo mínimo y cuantifique en quetzales cuánto cuesta imponer esa restricción.
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La restricción h ≤ 2.00 m equivale a 32/x² ≤ 2 ⇒ x² ≥ 16 ⇒ x ≥ 4.00 m; además x ≤ 5 m por el área del patio.
En el intervalo [4, 5] la función C(x) = 480x² + 38 400/x es creciente, porque su mínimo está en x = 3.42 < 4 y C'(x) > 0 para todo x > 3.42. Por lo tanto el óptimo factible está en la frontera:
x = 4.00 m, h = 32/16 = 2.00 m
C = 480(16) + 1200(4)(2) = 7 680 + 9 600 = Q 17 280
Penalización = 17 280 − 16 844 = Q 436, aproximadamente 2.6 %.
La restricción es económicamente poco costosa, pero cambia la geometría: el depósito restringido tiene 16 m² de fondo en lugar de 11.7 m² y es más bajo. Conviene notar que la propuesta del jefe de mantenimiento coincide con el óptimo factible, pero por coincidencia: el criterio de 'números redondos' no garantiza optimalidad.
3. ¿Conviene pagar el recargo de Q 3 500 por rollos de mayor altura? Justifique combinando el criterio económico y el de plazo.
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El recargo fijo de Q 3 500 es ocho veces la penalización de Q 436. Aunque con h = 2.74 m baja el costo del material, el ahorro máximo posible es de Q 436: no conviene desde el punto de vista económico.
Tampoco conviene por plazo: dos semanas adicionales colocan la entrega dentro de la temporada de lluvias, que es exactamente la fecha límite del proyecto.
Decisión: construir 4.00 × 4.00 × 2.00 m. Antes de aprobar hay que confirmar dos verificaciones que el análisis ya cubre: que 4 m ≤ 5 m de base disponible (cumple) y que el volumen útil es realmente 32 m³ (4×4×2 = 32, cumple sin margen de bordo libre, lo cual debe revisarse con la norma de seguridad del depósito). Si el volumen pudiera reducirse o la base cambiara de forma, el cálculo debería repetirse.