Matemática: álgebra, funciones y geometría analítica en la prueba específica de Ingeniería
La Matemática de la prueba específica de Ingeniería de la USAC evalúa el manejo algebraico, la interpretación de funciones y la geometría que sostienen los cursos de cálculo y física de los primeros años. No basta con recordar fórmulas: los ítems piden traducir un enunciado a una ecuación, elegir el modelo adecuado y comprobar si la solución tiene sentido en el contexto del problema.
Álgebra y funciones
- Leyes de exponentes y logaritmos: log(ab)=log a + log b, log(aⁿ)=n·log a, y la restricción de que el argumento debe ser positivo.
- Ecuaciones cuadráticas: factorización, fórmula general y discriminante (positivo: dos raíces reales; cero: una raíz doble; negativo: ninguna raíz real).
- Sistemas lineales: sustitución, igualación o eliminación; si las pendientes son iguales y las ordenadas distintas, el sistema no tiene solución.
- Funciones: dominio, rango, composición e inversa; una función es inyectiva si toda recta horizontal la corta en un solo punto.
- Proporcionalidad directa (y=kx) e inversa (y=k/x).
Trigonometría y geometría analítica
- Identidades básicas: sen²θ+cos²θ=1; ley de senos a/sen A=b/sen B; ley de cosenos c²=a²+b²−2ab·cos C.
- Círculo unitario: los signos cambian según el cuadrante; 30°, 45° y 60° son los ángulos más frecuentes.
- Recta: pendiente m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁); paralelas m₁=m₂; perpendiculares m₁·m₂=−1.
- Circunferencia: x²+y²=r² tiene centro en el origen y radio r.
Ejemplo resuelto
Resolver log₂x + log₂(x−2) = 3.
- Dominio: se necesita x>0 y x−2>0, es decir x>2. Este paso descarta respuestas al final.
- Combinar con la ley del producto: log₂[x(x−2)] = 3.
- Pasar a forma exponencial: x(x−2)=2³=8, o sea x²−2x−8=0.
- Factorizar: (x−4)(x+2)=0, de donde x=4 o x=−2.
- Verificar con el dominio: −2 se descarta. Solución: x=4. Comprobación: log₂4+log₂2=2+1=3.
Errores que cuestan puntos
- Omitir el dominio y aceptar raíces extrañas en logaritmos o en raíces de índice par.
- Tener la calculadora en grados cuando la ecuación está planteada en radianes.
- Invertir el signo de una desigualdad al dividir entre un número negativo.
- Confundir permutación (el orden importa) con combinación (el orden no importa).