PAI BA4L - Aspek Aktuaria dalam Asuransi Jiwa cheat sheet

Nilai waktu uang: nilai akumulasi a(t) = (1+i)^t untuk bunga majemuk; faktor diskonto v = 1/(1+i) dan v^n = (1+i)^(-n).

Bunga nominal i^(m) dikonversi ke bunga efektif tahunan: 1+i = (1+i^(m)/m)^m; untuk gaya bunga konstan δ, i = e^δ − 1 dan v = e^(−δ).

Nilai kini anuitas tunai: a_n = (1 − v^n)/i; nilai akumulasi s_n = ((1+i)^n − 1)/i; hubungan s_n = a_n · (1+i)^n.

Anuitas di muka: ä_n = (1 − v^n)/d dengan d = i/(1+i) = 1 − v; anuitas kontinu ā_n = (1 − v^n)/δ.

Persamaan nilai (equation of value): PV manfaat = PV premi pada tanggal valuasi; pilih tanggal fokus, susun arus kas, lalu selesaikan variabel yang tidak diketahui.

Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah i yang membuat NPV = 0; jika arus kas berganti tanda lebih dari sekali, dapat muncul lebih dari satu akar.

Durasi Macaulay = Σ t·CF_t·v^t / Σ CF_t·v^t; durasi modifikasi = durasi Macaulay/(1+i) mengukur sensitivitas harga terhadap perubahan i.

Kesetaraan tingkat bunga: i, d, δ, dan v saling terhubung; gunakan δ = ln(1+i) dan d = i/(1+i) agar konsisten antar-perhitungan.

Fungsi dasar: l_x jumlah hidup pada usia x, d_x = l_x − l_{x+1}, q_x = d_x/l_x, p_x = 1 − q_x = l_{x+1}/l_x.

Probabilitas bertahan t tahun: tp_x = l{x+t}/l_x; probabilitas meninggal dalam t tahun: _tq_x = 1 − _tp_x.

Probabilitas meninggal tertunda: {t|u}q_x = tp_x · uq{x+t} = (l{x+t} − l{x+t+u})/l_x.

Harapan hidup lengkap e_x = Σ_{k≥1} kp_x; harapan hidup parsial (curtate) e_x = Σ{k≥1} _kp_x dihitung dengan penjumlahan diskret.

Kekuatan mortalitas μ_{x+t} = −(1/{t}p_x)·d/dt({t}p_x); hubungan μ_{x+t} = −d/dt ln(_{t}p_x).

Hukum mortalitas: Gompertz μ_x = Bc^x; Makeham μ_x = A + Bc^x; hukum ini dipakai untuk ekstrapolasi usia lanjut dan graduasi tabel.

Tabel seleksi memuat q_{[x]+t} untuk kelompok terpilih; q_{[x]+t} < q_{x+t} pada tahun-tahun awal seleksi, konvergen ke tabel agregat setelah periode seleksi.

Frailty dan heterogenitas: campuran populasi dengan frailty Gamma menghasilkan model mortalitas per-frailty (contoh Vaupel) - relevan saat menafsirkan tabel populasi.

Anuitas hidup seumur hidup di muka: ä_x = Σ_{k≥0} v^k · _kp_x; anuitas langsung: a_x = ä_x − 1.

Anuitas hidup sementara n tahun: ä_{x:n|} = Σ_{k=0}^{n−1} v^k · _kp_x; anuitas seumur hidup ditunda m tahun: _m|ä_x = v^m · mp_x · ä{x+m}.

Asuransi jiwa seumur hidup manfaat akhir tahun: A_x = Σ_{k≥0} v^{k+1} · kp_x · q{x+k}; hubungan A_x = 1 − d·ä_x.

Asuransi berjangka n tahun: A^1_{x:n|} = Σ_{k=0}^{n−1} v^{k+1} · kp_x · q{x+k}; asuransi dwiguna: A_{x:n|} = A^1_{x:n|} + _nE_x.

Endowment murni: nE_x = v^n · np_x; berlaku A{x:n|} = 1 − d·ä{x:n|} untuk asuransi dwiguna.

Asuransi manfaat segera (kontinu): Ā_x = ∫ v^t · tp_x · μ{x+t} dt; di bawah asumsi constant force of mortality μ, Ā_x = μ/(μ+δ).

Prinsip ekuivalensi aktuaria: premi neto P memenuhi P·ä = A (atau P = A/ä); gunakan anuitas dan asuransi yang sesuai pola pembayaran premi.

Fungsi komutasi (D_x = v^x l_x, N_x = Σ D_x, C_x = v^{x+1} d_x, M_x = Σ C_x) mempercepat perhitungan A_x = M_x/D_x dan ä_x = N_x/D_x.

Premi neto tunggal = nilai kini manfaat; premi neto tahunan P = (nilai kini manfaat)/(anuitas premi).

Premi bruto (office premium) = premi neto + biaya (loading); biaya dimodelkan sebagai persentase premi dan/atau biaya per polis, sehingga persamaan ekuivalensi mencakup pengeluaran.

Cadangan prospektif V = PV manfaat masa depan − PV premi neto masa depan, dihitung pada usia x+t dengan sisa masa kontrak.

Cadangan retrospektif = akumulasi premi neto lampau − akumulasi manfaat lampau, menggunakan bunga dan fungsi biomterik yang sama; hasilnya sama dengan cadangan prospektif jika basis konsisten.

Rumus rekursif cadangan: (V + P)(1+i) = q_{x+t}·S + p_{x+t}·_{t+1}V, dengan S besar manfaat kematian.

Cadangan Zillmer memperbolehkan pengurangan biaya akuisisi dari cadangan awal, sehingga cadangan tahun pertama bisa negatif; cadangan awal (initial reserve) berbeda dari cadangan Zillmer.

Cadangan dihitung pada basis valuasi (bukan basis harga); perubahan basis (misalnya suku bunga turun) menaikkan cadangan dan dapat memicu penguatan modal.

Modified reserve (full preliminary term) menggeser biaya akuisisi ke tahun pertama; cadangan tahun pertama menjadi nol dan premi tahun berikutnya disesuaikan.

Asuransi berjangka (term) membayar manfaat hanya jika kematian terjadi dalam periode kontrak; tidak ada nilai tunai kecuali riders tertentu.

Whole life membayar manfaat pada kematian kapan pun; premi dapat seumur hidup atau terbatas (limited payment), dengan cadangan yang tumbuh menuju manfaat.

Endowment (dwiguna) membayar manfaat pada kematian atau pada akhir periode, mana yang lebih dulu; mengandung komponen tabungan dan nilai tunai.

Universal life memisahkan unsur proteksi dan akun tabungan; credited rate, cost of insurance (COI), dan expense charge menentukan nilai akun.

Unit-linked mengaitkan nilai polis dengan nilai aset investasi (unit); risiko investasi sebagian besar ditanggung pemegang polis.

Anuitas (annuity) membayar manfaat berkala selama hidup; fase akumulasi dan fase pembayaran dipisahkan, dengan opsi periode terjamin dan survivor benefit.

Fitur kontrak: masa bebas lihat (free look), grace period, non-forfeiture (cash value, reduced paid-up, extended term), reinstatement, dan contestability period.

Rider umum: waiver of premium, accidental death benefit, guaranteed insurability, dan critical illness rider; masing-masing mengubah manfaat atau premi dan harus dicerminkan dalam valuasi.

Sumber keuntungan (surplus) berasal dari selisih mortalitas, bunga, biaya, dan lapse antara asumsi dan realisasi; masing-masing dianalisis terpisah.

Mortalitas: jika kematian aktual lebih rendah dari asumsi, muncul surplus mortalitas positif pada produk proteksi; arah sebaliknya pada produk anuitas.

Bunga: surplus bunga = (i_realisasi − i_valuasi) × dana yang diinvestasikan; sensitivitas diukur dengan durasi atau analisis skenario.

Biaya: surplus biaya = (biaya asumsi − biaya aktual); biaya akuisisi tahun pertama sering menjadi penyebab kerugian awal (new business strain).

Lapse: tingkat lapse tinggi mengurangi pendapatan premi masa depan dan dapat memicu anti-seleksi; perlu diuji dengan skenario lapse naik/turun.

Pengujian asumsi mencakup analisis sensitivitas (satu variabel), analisis skenario (kombinasi), dan stress test; bandingkan hasil dengan toleransi risiko.

Pengalaman (experience) monitoring: bandingkan aktual vs harapan (A/E ratio) per komponen, lalu perbarui asumsi secara berkala.

Embedded value = nilai kini laba masa depan + adjusted net worth; pengujian asumsi memengaruhi EV dan perlu diungkapkan dalam laporan.

Aktuaris di Indonesia bekerja dalam kerangka OJK: POJK tentang produk asuransi, kesehatan keuangan, dan ekuitas; perhitungan cadangan mengikuti ketentuan yang berlaku.

Standar Praktik Aktuaria (SPA) dan kode etik profesi (misalnya PAI) mengatur kompetensi, objektivitas, kerahasiaan, dan komunikasi hasil.

Prinsip cadangan solvabilitas: aset harus mencukupi liabilitas dengan margin risiko; RBC (risk-based capital) membandingkan modal terhadap risiko.

Aktuaris wajib menyampaikan asumsi dan ketidakpastian secara jujur; menyembunyikan asumsi material melanggar etika profesi.

Kerahasiaan data pemegang polis dan kepatuhan perlindungan data pribadi (UU PDP) adalah kewajiban hukum dan etika.

Konflik kepentingan harus diungkapkan; aktuaris tidak boleh menerima kompensasi yang bergantung pada hasil yang menyesatkan.

Peer review dan dokumentasi memadai adalah kontrol kualitas; perhitungan harus dapat direproduksi oleh aktuaris lain.

Pelanggaran etika dapat berujung sanksi profesi dan sanksi regulator; aktuaris juga tunduk pada pengawasan OJK sebagai profesi penunjang.

Kasus premi: untuk polis berjangka n tahun usia x, hitung P = A^1_{x:n|}/ä_{x:n|} lalu tambahkan loading biaya untuk premi bruto.

Kasus cadangan: hitung cadangan prospektif pada akhir tahun t dengan manfaat S, premi P, dan fungsi komutasi; verifikasi dengan rumus rekursif.

Kasus anuitas: untuk anuitas seumur hidup dengan pembayaran bulanan, sesuaikan ä_x dengan konversi m kali setahun menggunakan asumsi distribusi kematian (misalnya UDD).

Kasus lapse: modelkan lapse sebagai pengurang premi masa depan; bandingkan cadangan dan profitabilitas sebelum/sesudah asumsi lapse berubah.

Kasus produk unit-linked: proyeksikan nilai akun dengan credited rate, COI, dan biaya; uji sensitivitas terhadap return investasi.

Kasus valuasi: gunakan basis valuasi konsisten (tabel mortalitas, suku bunga, biaya) dan dokumentasikan sumber setiap asumsi.

Kasus pengujian: hitung A/E ratio untuk mortalitas dan biaya; jika menyimpang signifikan, tinjau ulang asumsi dan dampaknya pada cadangan.

Kasus regulasi: pastikan cadangan memenuhi ketentuan minimum dan modal RBC; laporkan hasil dengan pengungkapan ketidakpastian.

Nilai waktu uang: a(t) = (1+i)^t untuk bunga majemuk; faktor diskonto v = 1/(1+i).

Konversi bunga nominal: 1+i = (1+i^(m)/m)^m; gaya bunga δ = ln(1+i).

Anuitas tunai: a_n = (1 − v^n)/i; akumulasi s_n = ((1+i)^n − 1)/i.

Anuitas di muka: ä_n = (1 − v^n)/d dengan d = i/(1+i).

Persamaan nilai: PV manfaat = PV premi pada tanggal valuasi yang dipilih.

IRR adalah i yang membuat NPV = 0; arus kas dengan banyak pergantian tanda dapat memiliki banyak akar.

Durasi Macaulay = Σ t·CF_t·v^t / Σ CF_t·v^t; durasi modifikasi = durasi/(1+i).

q_x = d_x/l_x dan p_x = l_{x+1}/l_x; d_x = l_x − l_{x+1}.

tp_x = l{x+t}/l_x; _tq_x = 1 − _tp_x.

{t|u}q_x = (l{x+t} − l_{x+t+u})/l_x.

Kekuatan mortalitas μ_{x+t} = −d/dt ln(_{t}p_x).

Hukum Gompertz μ_x = Bc^x; Makeham menambahkan konstanta A.

Tabel seleksi: q_{[x]+t} < q_{x+t} pada tahun awal seleksi.

Harapan hidup e_x = Σ_{k≥1} _kp_x.

ä_x = Σ v^k · _kp_x; a_x = ä_x − 1.

A_x = Σ v^{k+1} · kp_x · q{x+k}; A_x = 1 − d·ä_x.

A^1_{x:n|} = Σ_{k=0}^{n−1} v^{k+1} · kp_x · q{x+k}.

_nE_x = v^n · _np_x.

Premi neto P = A/ä (prinsip ekuivalensi).

Fungsi komutasi: A_x = M_x/D_x dan ä_x = N_x/D_x.

Di bawah constant force μ: Ā_x = μ/(μ+δ).

Premi neto tahunan P = nilai kini manfaat / anuitas premi.

Premi bruto = premi neto + loading biaya.

Cadangan prospektif = PV manfaat masa depan − PV premi masa depan.

Rumus rekursif: (V + P)(1+i) = q·S + p·_{t+1}V.

Cadangan Zillmer mengurangi biaya akuisisi dari cadangan awal.

Cadangan dihitung pada basis valuasi, bukan basis harga.

Perubahan basis valuasi mengubah besar cadangan.

Term: manfaat hanya jika kematian dalam periode kontrak.

Whole life: manfaat pada kematian kapan pun; premi bisa terbatas.

Endowment: manfaat pada kematian atau akhir periode.

Universal life: akun tabungan dengan COI dan expense charge.

Unit-linked: nilai polis mengikuti nilai aset investasi.

Anuitas: pembayaran berkala selama hidup, dengan fase akumulasi dan pembayaran.

Fitur: free look, grace period, non-forfeiture, reinstatement, contestability.

Sumber surplus: mortalitas, bunga, biaya, lapse.

Surplus bunga = (i_realisasi − i_valuasi) × dana.

Surplus biaya = biaya asumsi − biaya aktual.

New business strain berasal dari biaya akuisisi awal.

A/E ratio membandingkan aktual dengan harapan.

Pengujian: sensitivitas, skenario, stress test.

Embedded value = nilai kini laba masa depan + adjusted net worth.

Kerangka OJK mengatur produk, cadangan, dan solvabilitas.

SPA dan kode etik mengatur kompetensi, objektivitas, kerahasiaan.

RBC membandingkan modal dengan risiko.

Asumsi material wajib diungkapkan secara jujur.

Data pribadi pemegang polis dilindungi UU PDP.

Konflik kepentingan harus diungkapkan.

Dokumentasi dan peer review adalah kontrol kualitas.

Premi bruto = (A + biaya)/ä dengan biaya dimasukkan ke persamaan ekuivalensi.

Cadangan prospektif diverifikasi dengan rumus rekursif.

Pembayaran m kali setahun disesuaikan dengan asumsi UDD.

Lapse mengurangi premi masa depan dan mengubah profitabilitas.

Unit-linked diproyeksikan dengan credited rate, COI, dan biaya.

Basis valuasi harus konsisten dan terdokumentasi.

Cadangan minimum dan RBC diperiksa terhadap ketentuan regulator.

v = 1/(1+i); v^n = (1+i)^(−n).

δ = ln(1+i); i = e^δ − 1.

d = i/(1+i) = 1 − v.

a_n = (1 − v^n)/i; s_n = a_n(1+i)^n.

ä_n = (1 − v^n)/d; ā_n = (1 − v^n)/δ.

Persamaan nilai menyamakan PV arus kas pada tanggal fokus.

Durasi modifikasi mengukur sensitivitas harga terhadap i.

l_x menurun; d_x = l_x − l_{x+1}.

q_x = d_x/l_x; p_x = l_{x+1}/l_x.

tp_x = l{x+t}/l_x.

_{t|u}q_x = _tp_x · uq{x+t}.

μ_{x+t} = −(1/{t}p_x)·d/dt({t}p_x).

Gompertz: μ_x = Bc^x; Makeham: μ_x = A + Bc^x.

Seleksi: q_{[x]+t} konvergen ke q_{x+t} setelah periode seleksi.

ä_x = Σ_{k≥0} v^k · _kp_x.

A_x = Σ_{k≥0} v^{k+1} · kp_x · q{x+k}.

A_x = 1 − d·ä_x.

A_{x:n|} = A^1_{x:n|} + _nE_x.

_m|ä_x = v^m · mp_x · ä{x+m}.

P = A/ä pada prinsip ekuivalensi.

Komutasi: D_x = v^x l_x; N_x = Σ D_x.

Premi neto tunggal = nilai kini manfaat.

Premi bruto memasukkan biaya per polis dan persentase premi.

Cadangan prospektif dihitung pada usia x+t.

Cadangan retrospektif = akumulasi premi − akumulasi manfaat.

Rekursif: (V + P)(1+i) = q·S + p·_{t+1}V.

Zillmer dan full preliminary term menggeser biaya akuisisi.

Basis valuasi berbeda dari basis harga.

Term tidak membentuk nilai tunai.

Whole life dengan premi terbatas mempercepat akumulasi cadangan.

Endowment mengandung komponen tabungan.

Universal life: credited rate dan COI menentukan nilai akun.

Unit-linked: risiko investasi pada pemegang polis.

Anuitas memiliki opsi periode terjamin.

Rider mengubah manfaat dan premi; harus masuk valuasi.

Surplus dipisah per sumber: mortalitas, bunga, biaya, lapse.

Mortalitas aktual rendah memberi surplus pada proteksi.

Surplus bunga bergantung pada dana dan selisih tingkat bunga.

New business strain muncul dari biaya akuisisi.

Lapse tinggi mengurangi premi masa depan.

A/E ratio mengukur penyimpangan aktual.

Stress test menguji ketahanan terhadap skenario buruk.

OJK mengawasi produk, cadangan, dan kesehatan keuangan.

SPA mengatur standar praktik aktuaria.

Kode etik menuntut objektivitas dan kerahasiaan.

RBC mengaitkan modal dengan profil risiko.

Pengungkapan asumsi material adalah kewajiban.

UU PDP melindungi data pribadi pemegang polis.

Sanksi profesi dan regulator berlaku atas pelanggaran.

Hitung P = A^1_{x:n|}/ä_{x:n|} untuk term n tahun.

Tambahkan loading biaya untuk premi bruto.

Verifikasi cadangan dengan rumus rekursif.

Sesuaikan anuitas m kali setahun dengan UDD.

Uji sensitivitas lapse dan return investasi.

Dokumentasikan sumber setiap asumsi valuasi.

Periksa cadangan minimum dan RBC terhadap ketentuan.