Delegasi Kongres: Menyusun Susunan yang Sah di Bawah Aturan Bersyarat
Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) fakultas akan mengirim delegasi berisi tepat lima orang ke Kongres Mahasiswa Nasional. Delapan kandidat yang lolos wawancara adalah Ayu, Bima, Citra, Dimas, Eka, Fajar, Gita, dan Hana. Panitia menetapkan aturan berikut. (i) Jika Ayu dipilih, Bima wajib dipilih. (ii) Citra dan Dimas tidak boleh berada dalam delegasi yang sama. (iii) Fajar hanya boleh dipilih apabila Eka juga dipilih. (iv) Delegasi harus memuat paling sedikit satu dari Gita dan Hana. Tidak ada aturan lain, dan semua kandidat dianggap setara sehingga setiap susunan yang memenuhi keempat aturan harus dihitung sah. Ketua panitia meminta tim verifikasi memeriksa beberapa skenario sebelum rapat pleno, karena dua kandidat menyatakan keberatan atas kemungkinan tidak terpilih. Rapat harus memutuskan susunan akhir hari ini juga, tanpa menambah atau mengurangi aturan yang sudah ditetapkan.
1. Jika Ayu dan Citra sudah dipastikan terpilih, tuliskan seluruh susunan delegasi yang sah beserta langkah penyaringannya.
Read the worked answer
Langkah 1 - terapkan aturan (i): Ayu terpilih, maka Bima wajib ikut. Kursi terpakai: Ayu, Bima, Citra (3 dari 5).
Langkah 2 - terapkan aturan (ii): Citra terpilih, maka Dimas tidak boleh ikut. Sisa kandidat yang mungkin: Eka, Fajar, Gita, Hana; dibutuhkan 2 orang.
Langkah 3 - saring 6 kemungkinan pasangan dengan aturan (iii) dan (iv):
- {Eka, Fajar} → sah menurut (iii), tetapi melanggar (iv) karena tidak ada Gita maupun Hana. Gugur.
- {Fajar, Gita} → Fajar tanpa Eka, melanggar (iii). Gugur.
- {Fajar, Hana} → Fajar tanpa Eka, melanggar (iii). Gugur.
- {Eka, Gita} → lolos.
- {Eka, Hana} → lolos.
- {Gita, Hana} → lolos.
Susunan sah: Ayu–Bima–Citra–Eka–Gita, Ayu–Bima–Citra–Eka–Hana, dan Ayu–Bima–Citra–Gita–Hana. Perhatikan bahwa Fajar tidak pernah bisa masuk pada skenario ini, karena satu-satunya pasangan yang memuat Fajar selalu memuat Eka sekaligus, dan pasangan {Eka, Fajar} sudah gugur oleh aturan (iv).
2. Pada skenario lain, Fajar terpilih dan Gita tidak terpilih. Pernyataan apa yang pasti benar tentang keanggotaan delegasi, dan mengapa?
Read the worked answer
Fakta: Fajar masuk, Gita keluar.
Dari aturan (iv), karena Gita tidak dipilih, Hana wajib dipilih. Dari aturan (iii), Fajar hanya sah bila Eka juga dipilih. Jadi tiga kursi sudah pasti: Eka, Fajar, Hana. Dua kursi tersisa diambil dari {Ayu, Bima, Citra, Dimas}.
Uji keenam pasangan yang mungkin:
- {Ayu, Bima} → sah.
- {Ayu, Citra} → Ayu tanpa Bima, melanggar (i). Gugur.
- {Ayu, Dimas} → Ayu tanpa Bima, melanggar (i). Gugur.
- {Bima, Citra} → sah.
- {Bima, Dimas} → sah.
- {Citra, Dimas} → melanggar (ii). Gugur.
Ketiga susunan yang bertahan semuanya memuat Bima: Eka–Fajar–Hana–Ayu–Bima, Eka–Fajar–Hana–Bima–Citra, dan Eka–Fajar–Hana–Bima–Dimas.
Kesimpulan: Bima pasti terpilih. Alasannya bukan karena Bima populer, melainkan karena Ayu selalu menyeret Bima, sedangkan jalan masuk Citra dan Dimas sudah tertutup oleh aturan (ii) - sehingga tanpa Bima tidak akan tersisa cukup kandidat sah untuk dua kursi terakhir.
3. Berapa banyak delegasi sah yang memuat Dimas tetapi tidak memuat Ayu maupun Citra? Tunjukkan penghitungannya.
Read the worked answer
Dimas masuk, Ayu dan Citra keluar. Karena Ayu keluar, aturan (i) tidak lagi mengikat; karena Citra keluar, aturan (ii) juga tidak mengikat (tidak ada pasangan terlarang).
Satu kursi terpakai oleh Dimas, sehingga masih harus dipilih 4 orang dari {Bima, Eka, Fajar, Gita, Hana} - himpunan berisi 5 orang, jadi ada tepat 5 kandidat susunan (setiap susunan = satu orang yang dihilangkan). Saring dengan aturan (iii) Fajar→Eka dan (iv) minimal satu dari Gita/Hana:
- Hilangkan Bima → {Eka, Fajar, Gita, Hana}: Fajar bersama Eka, ada Gita dan Hana. Sah.
- Hilangkan Eka → {Bima, Fajar, Gita, Hana}: Fajar tanpa Eka. Gugur.
- Hilangkan Fajar → {Bima, Eka, Gita, Hana}: ada Hana. Sah.
- Hilangkan Gita → {Bima, Eka, Fajar, Hana}: ada Hana, Fajar bersama Eka. Sah.
- Hilangkan Hana → {Bima, Eka, Fajar, Gita}: ada Gita, Fajar bersama Eka. Sah.
Jumlah delegasi sah = 4, yaitu Dimas–Eka–Fajar–Gita–Hana; Dimas–Bima–Eka–Gita–Hana; Dimas–Bima–Eka–Fajar–Hana; dan Dimas–Bima–Eka–Fajar–Gita. Kesalahan yang sering terjadi adalah lupa bahwa aturan (iv) hanya menuntut salah satu dari Gita/Hana, bukan keduanya.