Optimasi Produksi Kue Bazar dengan Bahan Terbatas
Koperasi siswa "Maju Rasa" memproduksi dua paket kue kering untuk bazar sekolah. Paket A memerlukan 200 g tepung dan 100 g mentega; Paket B memerlukan 100 g tepung dan 150 g mentega. Gudang hanya menyediakan 3.000 g tepung dan 2.100 g mentega, dan bahan tidak bisa dibeli lagi karena bazar dimulai besok pagi. Harga jual Paket A Rp25.000 dengan margin bersih Rp10.000 per paket; Paket B Rp20.000 dengan margin bersih Rp8.000 per paket. Panitia kelas XI sudah memesan minimal 4 Paket B, sehingga jumlah Paket B tidak boleh kurang dari 4. Semua paket yang dibuat dijamin habis terjual. Ketua koperasi ingin memaksimalkan margin total, tetapi ia mengira cukup membuat Paket A sebanyak-banyaknya karena marginnya lebih besar. Ia juga menerima tawaran sponsor: tambahan 600 g mentega gratis, tanpa tambahan tepung, asalkan koperasi mencantumkan logo sponsor. Ia ragu apakah tambahan itu benar-benar menaikkan margin, dan meminta perhitunganmu sebelum menjawab sponsor.
1. Rumuskan model matematika masalah ini: definisi variabel, kendala, dan fungsi tujuan. Sebutkan pula mengapa jawabannya harus bilangan bulat.
Read the worked answer
Misal x = jumlah Paket A dan y = jumlah Paket B (keduanya bilangan bulat ≥ 0, karena paket tidak bisa dibuat sebagian).
Kendala tepung: 200x + 100y ≤ 3.000 → dibagi 100 menjadi 2x + y ≤ 30. Kendala mentega: 100x + 150y ≤ 2.100 → dibagi 50 menjadi 2x + 3y ≤ 42. Kendala pesanan: y ≥ 4. Fungsi tujuan: maksimumkan M = 10.000x + 8.000y.
Mengapa bilangan bulat: keputusan produksi bersifat diskret. Solusi real terbaik dari kedua garis adalah (12; 6), yang kebetulan bulat, tetapi tanpa syarat bulat kita tidak boleh menerima titik seperti (11,5; 7). Karena itu pemeriksaan harus dilakukan pada titik-titik sudut bulat di dalam daerah layak, bukan hanya pada perpotongan garis.
2. Tentukan kombinasi produksi yang memaksimalkan margin, lalu bandingkan dengan dugaan ketua koperasi bahwa "Paket A sebanyak mungkin" adalah yang terbaik.
Read the worked answer
Daerah layak dibatasi 2x + y ≤ 30, 2x + 3y ≤ 42, y ≥ 4. Periksa titik sudut:
- y = 4 pada kendala tepung: 2x + 4 = 30 → x = 13. Margin = 130.000 + 32.000 = 162.000.
- Perpotongan kedua kendala: kurangi persamaan → 2y = 12 → y = 6, x = 12. Margin = 120.000 + 48.000 = 168.000.
- y = 14, x = 0 (mentega habis): margin = 112.000.
- x = 0, y = 4: margin = 32.000.
Maksimum di (12; 6): 12 Paket A dan 6 Paket B, margin Rp168.000. Periksa bahan: tepung 2.400 + 600 = 3.000 g (habis), mentega 1.200 + 900 = 2.100 g (habis).
Dugaan ketua salah karena mengabaikan bahwa setiap Paket A "memakan" 2 satuan tepung tetapi hanya 1 satuan mentega; begitu tepung habis, mentega masih tersisa kecuali komposisinya diseimbangkan. Membuat A maksimum (x = 15) bahkan melanggar pesanan y ≥ 4; versi terbaiknya, x = 13 dan y = 4, hanya menghasilkan Rp162.000.
3. Sponsor menawarkan tambahan 600 g mentega gratis tanpa tambahan tepung. Hitung apakah margin maksimum benar-benar naik, dan beri rekomendasi satu kalimat.
Read the worked answer
Mentega menjadi 2.700 g, sehingga kendalanya 2x + 3y ≤ 54 → disederhanakan 2x + 3y ≤ 46 (dibagi 50 dari 2.300 g? tidak-gunakan satuan 50 g: 2.700/50 = 54, dan 100x/50 = 2x, 150y/50 = 3y, jadi 2x + 3y ≤ 54).
Perpotongan dengan kendala tepung 2x + y = 30: substitusi → (30 − y) + 3y = 54 → 2y = 24 → y = 12? Periksa ulang dengan satuan konsisten: 2x + y = 30 dan 2x + 3y = 54 menghasilkan 2y = 24 → y = 12, x = 9. Margin = 90.000 + 96.000 = 186.000, naik Rp18.000 dari Rp168.000.
Rekomendasi: terima tawaran sponsor selama biaya mencetak logo tidak melebihi Rp18.000, karena tambahan 600 g mentega bernilai marginal Rp18.000 dan kini mentega menjadi kendala yang menguntungkan untuk dilonggarkan.
4. Jika sponsor hanya menambah 300 g mentega (bukan 600 g), apakah margin masih naik? Tunjukkan cara cepat menilai tanpa menggambar ulang seluruh daerah layak.
Read the worked answer
Dengan 300 g tambahan, mentega menjadi 2.400 g → 100x + 150y ≤ 2.400 → 2x + 3y ≤ 48 (satuan 50 g).
Perpotongan dengan 2x + y = 30: (30 − y) + 3y = 48 → 2y = 18 → y = 9, x = 10,5. Ini tidak bulat, jadi periksa kandidat bulat terdekat yang layak: (11; 8) memberi tepung 22 + 8 = 30 dan mentega 22 + 24 = 46 ≤ 48 → margin 110.000 + 64.000 = 174.000; (10; 9) memberi mentega 20 + 27 = 47 ≤ 48, tepung 29 ≤ 30 → margin 100.000 + 72.000 = 172.000.
Jadi maksimum Rp174.000, hanya naik Rp6.000. Cara cepat: setiap 100 g mentega menambah paling banyak sekitar Rp2.000–3.000 margin pada titik ini karena tepung tetap menjadi pengikat utama; nilai marginal mentega turun setelah kombinasi bergeser menjauh dari titik seimbang. Kesimpulan: pada 300 g, kenaikan margin kecil dan bisa habis oleh biaya pencantuman logo.