Fjáröflunarviðburður: núllpunktur, styrktartilboð og hlutfallslegur frágangur
Nemandi í stærðfræði 303 stýrir fjáröflun fyrir bekkjarferð. Íþróttahúsið kostar 240.000 kr. í leigu og hljómsveitin 150.000 kr.; auk þess kostar hver seldur miði 400 kr. í húsverði, prentun og þrifum. Salurinn tekur 900 manns og miðaverð er 2.500 kr. Í fyrra, þegar miðinn kostaði 2.500 kr., seldust 380 miðar. Nú býður staðbundinn styrktaraðili 100.000 kr. ef miðaverðið er lækkað í 2.000 kr.; nemendur áætla að þá seljist 560 miðar. Þeir velta því fyrir sér hvort taka eigi tilboðinu og hversu marga miða þurfi að selja í hvoru tilvikinu. Að lokum á að draga þrjá vinningshafa af seldum miðum án endursetningar.
1. Reiknið núllpunkt og hagnað í báðum sviðsmyndum og takið rökstudda afstöðu til styrktartilboðsins.
Read the worked answer
Framlegð á hvern miða er verð mínus breytilegur kostnaður. Við 2.500 kr.: 2.500 − 400 = 2.100 kr. Fastur kostnaður er 240.000 + 150.000 = 390.000 kr., svo hagnaður er H(x) = 2.100x − 390.000. Núllpunktur: x = 390.000/2.100 = 185,7, þannig að selja þarf 186 miða til að standa undir kostnaði. Við 2.000 kr. og styrkinn: framlegð 1.600 kr. og H(x) = 1.600x + 100.000 − 390.000 = 1.600x − 290.000; núllpunktur 181,25, þ.e. 182 miðar. Við áætlaða sölu er hagnaðurinn 2.100 × 380 − 390.000 = 408.000 kr. annars vegar og 1.600 × 560 − 290.000 = 606.000 kr. hins vegar. Tilboðið skilar 198.000 kr. meiri hagnaði miðað við áætlun og salurinn (900 manns) takmarkar ekki. Athuga þarf að ef eftirspurn fer fram úr 900 þarf að velja hvort selt er upp eða verð hækkað; það getur breytt niðurstöðunni.
2. Hve viðkvæm er ákvörðunin fyrir því að spáin um 560 miða standist ekki? Reiknið við hvaða sölu tilboðið hættir að vera hagstæðara.
Read the worked answer
Berum saman við 408.000 kr. sem fæst í 2.500-kr. sviðsmyndinni. Leysum 1.600x − 290.000 = 408.000, sem gefur 1.600x = 698.000 og x = 436,25, þannig að 437 miðar duga til að standa jafnfætis. Áætlunin er 560 miðar, svo öryggisbilið er 123 miðar, um 22% frávik frá spánni. Neðri mörkin fyrir því að tapa ekki eru 182 miðar. Hættan felst í því að spáin byggir á einni tölu og að lægra verð getur dregið úr hvata til fyrirframkaupa; ef sala yrði 400 miðar væri hagnaðurinn 1.600 × 400 − 290.000 = 350.000 kr., sem er minna en í 2.500-kr. sviðsmyndinni. Ákvörðunin er því skynsamleg en ekki hættulaus, og í tillögunni ætti að koma fram spönnin 437–560 miðar ásamt því hvaða upplýsingar vantar (t.d. hve margir kaupa miða fyrirfram).
3. Ef 560 miðar seljast og dregnir eru þrír vinningshafar án endursetningar, hverjar eru líkurnar á að tiltekinn miði vinni að minnsta kosti einn vinning, og hverjar eru líkurnar á að tveir vinir, sem eiga sitthvorn miðann, vinni báðir?
Read the worked answer
Líkurnar á að tiltekinn miði tapist í öllum þremur dráttunum eru (559/560)(558/559)(557/558), sem styttist niður í 557/560. Líkurnar á að minnsta kosti einn vinningur komi á þann miða eru því 1 − 557/560 = 3/560 ≈ 0,00536, það er um 0,54%. Þetta má einnig sjá beint: hver miði hefur 3 tækifæri af 560, og þar sem drátturinn er án endursetningar er heildarlíkindin samtals 3/560. Fyrir tvo vini þurfa báðir að fá vinning: (3/560)(2/559) ≈ 1,9·10⁻⁵, eða um 0,0019%. Ekki má nota (3/560)² því líkurnar breytast eftir hvern drátt; munurinn er þó lítill hér vegna fjöldans. Rétt er að rökstyðja hvort tveggja með skilyrtum líkindum, því annars er hætta á að ofmeta líkur á tveimur vinningum.