La serata dell'associazione: capienza, punto di pareggio e probabilità
Un'associazione sportiva intende organizzare una serata con concerto nel proprio capannone, un rettangolo di 24 m per 15 m. Il palco occupa 8 m per 5 m; l'area bar, biglietteria e servizi occupa altri 40 m². Il regolamento antincendio applicabile prevede un affollamento massimo di 0,7 persone per metro quadro di superficie utile, calcolata al netto di palco, bar e vie di fuga. Il direttivo ha già annunciato 200 partecipanti, un biglietto a 18 €, costi fissi per 3.300 € (affitto, SIAE, steward) e un costo variabile di 6 € per partecipante. Il contratto con il complesso musicale prevede una penale di 1.500 € in caso di annullamento. Dai dati storici, il 60% dei partecipanti è socio; tra i soci il 25% acquista il gadget della serata, tra i non soci il 40%. Il presidente chiede un parere scritto prima di firmare: la serata è sostenibile? Quanti possono entrare davvero? Che prezzo serve per non perdere denaro? Quale probabilità c'è di estrarre un acquirente del gadget?
1. Verifica la capienza consentita e confrontala con i 200 partecipanti annunciati.
Read the worked answer
Superficie totale: 24 × 15 = 360 m². Palco: 8 × 5 = 40 m². Bar, biglietteria e servizi: 40 m². Superficie utile: 360 − 40 − 40 = 280 m².
Affollamento massimo = 280 × 0,7 = 196 persone.
I 200 annunciati superano il limite di 4 unità. La capienza reale è 196: il vincolo di legge prevale sull'obiettivo organizzativo e non è negoziabile con il pubblico. Per arrivare a 200 servirebbero almeno 200 / 0,7 = 285,7 m² utili, cioè 6 m² in più: si potrebbero recuperare riducendo il palco o spostando il bar all'esterno.
Decisione operativa: mettere in vendita 196 biglietti (non 200), comunicare subito il limite agli organizzatori e non accettare prenotazioni oltre soglia; la differenza di 4 persone non giustifica il rischio di sanzioni e di diniego della licenza.
2. Calcola il punto di pareggio con il biglietto a 18 € e determina il prezzo minimo per il pareggio a capienza piena. Valuta se conviene firmare il contratto.
Read the worked answer
Margine di contribuzione unitario: 18 − 6 = 12 €.
Punto di pareggio: 3.300 / 12 = 275 persone, molto sopra la capienza di 196: l'evento, così impostato, è strutturalmente in perdita.
Verifica a 196: ricavi 196 × 18 = 3.528 €; variabili 196 × 6 = 1.176 €; fissi 3.300 € → risultato −948 €.
Prezzo minimo a 196: (3.300 + 1.176) / 196 = 4.476 / 196 = 22,84 €, quindi 23 € arrotondando (a 23 €: 4.508 − 3.300 − 1.176 = +32 €). A 200 persone servirebbe 22,50 €, ma 200 non sono ammesse.
Decisione: firmare solo dopo aver corretto almeno una leva: biglietto a 23 €, oppure taglio dei costi fissi di 948 € (sponsor, cachet ridotto, steward volontari). La penale di annullamento è 1.500 €, superiore alla perdita massima di 948 €: la rinuncia immediata costa meno dell'annullamento tardivo, quindi la scelta va presa prima della firma, non dopo.
3. Calcola la probabilità che un partecipante estratto a caso abbia acquistato il gadget e la probabilità che sia socio, dato che lo ha acquistato. Commenta il risultato.
Read the worked answer
Legge della probabilità totale: P(G) = P(S)·P(G|S) + P(N)·P(G|N) = 0,60 × 0,25 + 0,40 × 0,40 = 0,15 + 0,16 = 0,31.
Su 196 presenti: 0,31 × 196 ≈ 61 gadget attesi.
Probabilità condizionata: P(S|G) = P(S ∩ G) / P(G) = 0,15 / 0,31 ≈ 0,484.
Commento: poiché P(S) = 0,60, l'acquisto è associato negativamente all'essere socio (0,25 contro 0,40 tra i non soci). Non c'è indipendenza: il gadget va offerto a tutti all'ingresso, non solo agli iscritti, e il dato serve anche a stimare il ricavo accessorio in modo non distorto. Se il gadget avesse un margine, andrebbe inserito nel calcolo del pareggio, non trattato come variabile separata.