Matematica: algebra, geometria, funzioni, logaritmi, trigonometria e probabilità
La prova matematica richiede calcolo sicuro, controllo delle condizioni di esistenza e capacità di tradurre un testo in modello. Gli argomenti spaziano da aritmetica e algebra a geometria analitica e sintetica, funzioni, equazioni e disequazioni, logaritmi ed esponenziali, trigonometria, probabilità e calcolo combinatorio.
Regole e strumenti
- Dominio: denominatori non nulli, radici pari con radicando maggiore o uguale a zero, logaritmi con argomento positivo e base positiva diversa da 1.
- Logaritmi: log_a(bc)=log_a b+log_a c; log_a(b/c)=log_a b−log_a c; log_a b^n=n log_a b; cambio base log_a b=log_c b/log_c a.
- Trigonometria: sin²x+cos²x=1; tan x=sin x/cos x; valori notevoli e periodicità.
- Probabilità: 0≤P(A)≤1; P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B); eventi indipendenti P(A∩B)=P(A)P(B).
- Combinatoria: permutazioni n!; disposizioni D(n,k)=n!/(n−k)!; combinazioni C(n,k)=n!/[k!(n−k)!].
Esempio svolto
Risolvere log₂(x−1)+log₂(x−3)=3. Condizioni: x−1>0 e x−3>0, quindi x>3. Somma dei logaritmi: log₂[(x−1)(x−3)]=3, quindi (x−1)(x−3)=2³=8. Sviluppando: x²−4x+3=8, cioè x²−4x−5=0; le radici sono x=5 e x=−1. La soluzione x=−1 viola il dominio, quindi resta x=5. Verifica: log₂4+log₂2=2+1=3.
Trappole
- Elevare al quadrato o applicare logaritmi senza riportare le condizioni di esistenza: compaiono soluzioni estranee.
- Dimenticare che la base del logaritmo cambia il verso delle disequazioni quando è compresa tra 0 e 1.
- Confondere gradi e radianti nella trigonometria.
- Usare disposizioni al posto di combinazioni quando l'ordine non conta; sommare probabilità di eventi non incompatibili senza sottrarre l'intersezione.