直方体の水そう - 給水と排水のグラフ
3年1組は理科の時間に、底面が縦20cm、横25cmの長方形で、高さ40cmの直方体の水そうを使った実験を行った。水そうの底面積は500cm²で、空の状態から給水管Aで水を入れる。Aからは1分間に1,500cm³の水が入る。水そうの底には排水管Bがついており、Bを開けると1分間に500cm³の水が出ていく。水はあふれるまで入れ、水面の高さを1分ごとに記録する。
1回目の実験では、AとBの両方を同時に開いて水を入れた。水面の高さは一定の割合で上がり、20分で満水になった。2回目の実験では、AとBを同時に開いて水を入れ始め、8分後にBだけを閉じて、そのままAで水を入れ続けた。3回目の実験では、Bを閉じたまま、流量を変えられる給水管Cを使い、満水までの時間を12分以下にしたいと考えている。水そうの容積は変えない。
グラフ係の陽菜さんは、横軸を時間、縦軸を水面の高さとして2回目の実験のグラフをかこうとしているが、8分のところでグラフの傾きが変わることをうまく説明できずに困っている。
1. AとBの両方を開けて水を入れるとき、水を入れ始めてから x 分後の水面の高さを y cm とする。y を x の式で表し、満水になるまでの時間を求めよ。
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底面の面積は 20 × 25 = 500cm²。
1分間に水そうに残る水の量は、入る量から出る量を引いて
1,500 − 500 = 1,000cm³
これを底面積で割ると、水面の上がる速さは
1,000 ÷ 500 = 2cm/分
したがって y = 2x と表せる（比例）。
満水は y = 40 のときなので
40 = 2x より x = 20
答え：y = 2x、満水になるのは20分後（問題文の記録とも一致する）
2. 2回目の実験で、満水になるのは水を入れ始めてから何分後か。また、8分以降について y を x の式で表し、グラフの傾きが表しているものを説明せよ。
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8分のとき、y = 2 × 8 = 16cm。残りの高さは 40 − 16 = 24cm。
Bを閉じると、出ていく水はなくなり、水面の上がる速さは
1,500 ÷ 500 = 3cm/分
よって残りにかかる時間は 24 ÷ 3 = 8分。満水は 8 + 8 = 16分後。
8分以降の式は、8分のときの高さ16cmから毎分3cmずつ増えるので
y = 16 + 3(x − 8) = 3x − 8
傾きの意味：傾き3は、Bを閉じたあとの1分あたりの水面の上昇量（3cm/分）を表す。最初の傾き2より大きいので、グラフは x = 8 の点で折れて急になる。傾きが変わっても、水の量と高さの関係は連続しているので、グラフは途切れない。
3. 3回目の実験で、Bを閉じたまま、給水管Cの流量を毎分 q cm³ にして満水までの時間を t 分にしたい。q と t の関係を式で表し、t が12分以下になるような q の範囲を求めよ。
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水そうの容積は 500 × 40 = 20,000cm³。
毎分 q cm³ で入れると、満水までの時間は
t = 20,000 / q
これは q に反比例する式である（q を2倍にすると t は半分になる）。
t ≤ 12 より
20,000 / q ≤ 12
q > 0 なので両辺に q をかけて
20,000 ≤ 12q q ≥ 20,000 / 12 = 5,000 / 3 ≈ 1,666.7
答え：毎分約1,667cm³以上
検算：q = 5,000/3 のとき t = 20,000 ÷ (5,000/3) = 12分ちょうどになる。