Mie Entrance Mathematics key terms

把一个正整数写成若干个质数相乘的形式。例如 84 = 2² × 3 × 7。分解结果是唯一的，可用于求最大公约数、最小公倍数和判断整除性。

两个或多个整数共有的约数中最大的一个。可用素因数分解取各质因数的最低次幂求得，也可用欧几里得辗转相除法计算。

两个或多个整数共有的倍数中最小的正整数。可用素因数分解取各质因数的最高次幂求得，也等于两数之积除以它们的最大公约数。

一个数在数轴上到原点的距离，记作 |a|，结果非负。当 a ≥ 0 时 |a| = a，当 a < 0 时 |a| = −a，常用于化简和含绝对值的方程与不等式。

不能写成两个整数之比的实数，其小数部分无限且不循环。例如 √2、π、e。判断依据是能否表示为分数形式，而不是小数位数的多少。

若 x² = a 且 x ≥ 0，则 x 称为 a 的算术平方根，记作 √a；满足 x² = a 的两个数 ±√a 统称平方根。负数在实数范围内没有平方根。

能表示为两个整数之比 a/b（b ≠ 0）的数，包括整数和有限小数、循环小数。有理数对加、减、乘、除（除数非零）运算封闭。

规定了原点、正方向和单位长度的直线，每个实数与轴上一点一一对应。常用于比较大小、表示区间以及直观理解绝对值与不等式的解集。

只含一个未知数且未知数最高次数为 1 的方程，形如 ax + b = 0（a ≠ 0）。通过移项、合并同类项、系数化为 1 求解，解唯一。

把方程或不等式中的某一项从一边移到另一边，同时改变它的符号。依据是等式两边同加或同减同一个数仍相等，是解方程的基本步骤。

把两个或多个方程组合在一起，要求同时满足。常用代入消元法或加减消元法求解；二元一次方程组的解对应两条直线在坐标平面上的交点。

形如 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的方程。可用因式分解、配方法或求根公式 x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) 求解，实根个数由判别式决定。

二次方程 ax² + bx + c = 0 中的 D = b² − 4ac。D > 0 时有两个不同实根，D = 0 时有一个重根，D < 0 时无实根，同时决定抛物线与 x 轴的交点个数。

把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是展开的逆过程。常用方法有提公因式、公式法（平方差、完全平方）和十字相乘，可用于解方程和化简分式。

利用分配律去掉多项式中的括号，把乘积写成和的形式。例如 (x + 3)(x − 2) = x² + x − 6。展开与因式分解互为逆运算。

对任意数 a、b、c，有 a(b + c) = ab + ac。它是展开括号、合并同类项和因式分解提公因式的共同依据，也是整式运算的基本法则。

用 <、>、≤、≥ 连接两个式子表示大小关系的式子。两边同乘或同除以负数时不等号方向必须改变，这是解不等式与解方程的主要区别。

形如 y = ax + b（a ≠ 0）的函数，图像是一条直线。a 是斜率，决定增减性和倾斜程度；b 是 y 轴截距，决定直线与 y 轴的交点位置。

直线上两点纵坐标之差与横坐标之差的比，即 a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)。斜率为正时函数递增，为负时递减，为零时是水平直线。

函数图像与坐标轴交点的坐标值。y 轴截距是 x = 0 时的函数值，x 轴截距是令 y = 0 解得的 x 值，常用来快速作图和确定解析式。

二次函数 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图像，是一条关于直线 x = −b/(2a) 对称的曲线。a > 0 时开口向上有最小值，a < 0 时开口向下有最大值。

抛物线的最高点或最低点，横坐标为 −b/(2a)，纵坐标可由代入求得。顶点式 y = a(x − p)² + q 中 (p, q) 即为顶点，便于求最大最小值。

两个比相等的关系，记作 a : b = c : d，等价于 ad = bc。正比例 y = kx 中两量之比恒定，反比例 y = k/x 中两量之积恒定。

两个变量的乘积为常数 k（k ≠ 0）的关系，即 y = k/x。图像是双曲线，位于第一、三象限或第二、四象限，x 增大时 y 减小。

反比例函数 y = k/x 的图像，由两条不相交的曲线分支组成，以坐标轴为渐近线。k > 0 时分支在第一、三象限，k < 0 时在第二、四象限。

两个图像公共点的坐标，需同时满足两个函数的解析式，因此通过联立方程求解。交点个数反映方程组解的个数，如直线与抛物线可交于 0、1 或 2 点。

函数在给定范围内取得的最大或最小函数值。二次函数可用顶点或配方求得；在闭区间上还需比较端点值，是应用题中求最优解的核心工具。

两条直线被第三条直线所截，位于截线两侧且都在两直线之间的两个角。两直线平行时内错角相等，反之内错角相等可判定两直线平行。

两条直线被第三条直线所截，位于截线同侧且位置相同的两个角。两直线平行时同位角相等，这一性质常用于求角度和证明平行。

在同一平面内永不相交的两条直线。其性质包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；判定平行需要这些角的关系或两线垂直于同一直线。

两个图形能够完全重合，对应边相等、对应角相等。三角形全等的判定有 SSS、SAS、ASA、AAS 及直角三角形的 HL，注意 SSA 不能判定全等。

两个图形形状相同、大小可以不同，对应角相等且对应边成比例。相似三角形对应边之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。

在两个全等或相似图形中位置相当、彼此对应的边。全等时对应边相等，相似时对应边成比例，正确找出对应边是使用判定和计算长度的前提。

顶点在圆上、两边都与圆相交的角。同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半；半圆所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等。

顶点在圆心、两边为半径的角。同一段弧所对的圆心角是圆周角的两倍，其度数等于该弧的度数，可用于求弧长和扇形面积。

与圆只有一个公共点的直线。切线垂直于过切点的半径，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，是证明垂直和求线段长的常用性质。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即 a² + b² = c²。其逆定理可用于判定直角三角形，也是求距离和线段长度的基本工具。

圆上一段弧的长度，等于 2πr 乘以该弧所对圆心角占 360° 的比例，即 l = 2πr × (n/360)。扇形面积可用类似比例或 (1/2)lr 计算。

由两条半径和一段弧围成的图形面积，等于 πr² 乘以圆心角占 360° 的比例，也等于 (1/2) × 弧长 × 半径。常用于组合图形中的阴影面积计算。

立体图形所有面的面积之和。求法是把各个面展开成平面图形后分别计算再相加，如圆柱的表面积为两个底面积加侧面积 2πrh。

立体图形所占空间的大小。棱柱和圆柱为底面积乘高，棱锥和圆锥为三分之一底面积乘高，球为 (4/3)πr³，计算时注意单位统一。

把立体图形的表面沿棱剪开铺平后得到的平面图形。通过展开图可以看清各面的形状和数量，是计算表面积和判断能否折成该立体的依据。

在等可能情形下，事件发生的概率等于该事件包含的结果数除以所有可能结果总数，值在 0 与 1 之间。0 表示不可能事件，1 表示必然事件。

一次随机试验中所有可能结果组成的集合。计算概率前先明确样本空间并确认各结果等可能，是列举法和树状图的基础。

随机变量各取值与其概率乘积的总和，表示大量重复试验下的平均值。期望值不一定是可能出现的值，常用于评价游戏或方案的平均收益。

把一组数据按大小排列后位于中间的数；数据个数为偶数时取中间两数的平均值。中位数不易受极端值影响，比平均数更能反映一般水平。

一组数据中出现次数最多的数值，可能有多个或不存在。它适用于分类数据和频数统计，不受极端值影响，但未必能代表整体平均水平。

先假设结论不成立，再由此推出与已知条件、公理或已证定理矛盾的结论，从而说明原结论必然成立。常用于证明唯一性、无限性或否定性命题。

把原命题的条件和结论互换得到的新命题。原命题成立时逆命题不一定成立，只有两者都成立时条件和结论才互为充分必要条件。

若 A 推出 B 且 B 推出 A，则 A 是 B 的充分必要条件，简称充要条件。判断时需分别验证两个方向，只验证一个方向结论不完整。

证明与正整数有关的命题的方法：先证 n = 1 时成立，再假设 n = k 成立并推出 n = k + 1 也成立。两步缺一不可，用于证明求和公式和整除性。

曲线上的点沿某一方向无限延伸时，与该直线距离趋于零的直线。反比例函数以坐标轴为渐近线，作图时先画出渐近线可确定曲线走向。