Mie Entrance Mathematics case studies

文化祭のクレープ模擬店 - 仕入れ個数と利益の条件

3年2組は文化祭でクレープの模擬店を開く。準備の話し合いで、次のことが決まった。材料費は1個あたり120円で、材料は50個単位のセットでしか注文できない。注文の締め切りは文化祭の1週間前で、当日に追加することはできない。焼き器のレンタル代や看板代として、売れても売れなくても合わせて8,000円かかる。販売価格は1個250円。焼きむらなどで、作った数の2割は売れない見込みで、その分の材料費は戻らない。クラスの目標は、利益を20,000円以上出すことだ。 クラスは32人で、前売り券はすでに120枚売れている。昨年の文化祭では当日に約200枚売れたという記録が残っている。会計係の健太さんは「材料は350個注文すればよい」と計算したが、実行委員の美咲さんは「本当にその数で足りるの」と首をかしげている。材料の注文先は2社が候補で、A社は1個120円・送料無料、B社は1個100円・送料3,000円(個数にかかわらず一定)である。どちらの会社に頼むかは、今週中に決めなければならない。. 350個仕入れるとき、A社とB社ではどちらが安いか。また、仕入れ個数が何個を超えるとB社の方が安くなるか。. B社から350個仕入れ、目標の利益20,000円以上を達成するには、販売価格を1個いくら以上にすればよいか。売れない分が2割あることは変わらないものとする。. 仕入れる材料を x 個とする。 売れるのは作った数の8割なので、売れる個数は 0.8x 個 売上は 250 × 0.8x = 200x 円 費用は材料費 120x 円と固定費 8,000 円の合計で 120x + 8,000 円 利益 = 200x − (120x + 8,000) = 80x − 8,000 円 目標は 20,000 円以上だから 80x − 8,000 ≥ 20,000 80x ≥ 28,000 x ≥ 350 材料は50個単位なので、350個ちょうどが最小となる。 検算 ：350個仕入れると売れるのは 350 × 0.8 = 280個。売上は 250 × 280 = 70,000円、費用は 120 × 350 + 8,000 = 50,000円、利益は 20,000円で条件を満たす。 答え：350個.

直方体の水そう - 給水と排水のグラフ

3年1組は理科の時間に、底面が縦20cm、横25cmの長方形で、高さ40cmの直方体の水そうを使った実験を行った。水そうの底面積は500cm²で、空の状態から給水管Aで水を入れる。Aからは1分間に1,500cm³の水が入る。水そうの底には排水管Bがついており、Bを開けると1分間に500cm³の水が出ていく。水はあふれるまで入れ、水面の高さを1分ごとに記録する。 1回目の実験では、AとBの両方を同時に開いて水を入れた。水面の高さは一定の割合で上がり、20分で満水になった。2回目の実験では、AとBを同時に開いて水を入れ始め、8分後にBだけを閉じて、そのままAで水を入れ続けた。3回目の実験では、Bを閉じたまま、流量を変えられる給水管Cを使い、満水までの時間を12分以下にしたいと考えている。水そうの容積は変えない。 グラフ係の陽菜さんは、横軸を時間、縦軸を水面の高さとして2回目の実験のグラフをかこうとしているが、8分のところでグラフの傾きが変わることをうまく説明できずに困っている。. AとBの両方を開けて水を入れるとき、水を入れ始めてから x 分後の水面の高さを y cm とする。y を x の式で表し、満水になるまでの時間を求めよ。. 2回目の実験で、満水になるのは水を入れ始めてから何分後か。また、8分以降について y を x の式で表し、グラフの傾きが表しているものを説明せよ。. 3回目の実験で、Bを閉じたまま、給水管Cの流量を毎分 q cm³ にして満水までの時間を t 分にしたい。q と t の関係を式で表し、t が12分以下になるような q の範囲を求めよ。.

円に内接する直角三角形 - 相似の利用と弦の性質

3年の数学の授業で、円と相似について調べる活動を行った。半径5cmの円Oの周上に3点A、B、Cをとると、∠BAC = 90°、AB = 6cm、AC = 8cmになった。点Aから辺BCに垂線AHを下ろし、さらにAHを延長して円Oと交わる点をDとする。コンパスと定規でかいた図をもとに、次の3つの意見が出た。 拓也さん「BCは円Oの直径になっているはずだ。」 結衣さん「△ABHと△CAHは相似になるので、BHとCHの長さが分かる。」 先生「AHを延長して円と交わる点をDとすると、HはADのちょうど真ん中になるよ。」 図は正確にかかれているとは限らないので、長さを測って確かめるのではなく、計算や証明によって確かめることにした。クラスは32人で4人班に分かれて取り組み、AHの長さを面積から求める班と、相似から求める班の両方があった。相似の証明では、使った角が等しいといえる根拠も書くことが求められている。. △ABH ∽ △CAH であることを証明し、BHとCHの長さを求めよ。. AHを延長して円Oと交わる点をDとするとき、ADの長さを求めよ。また、そうなる理由を説明せよ。. ∠BAC = 90° なので △ABC は直角三角形。三平方の定理より BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 BC = 10cm 円Oの半径は、弦BCが直径であることから BC の半分で 5cm。 AHは△ABCの面積を2通りに表すことで求められる。 (1/2) × 6 × 8 = 24 (1/2) × 10 × AH よって 10 × AH / 2 = 24 より AH = 24 ÷ 5 = 4.8cm。 答え：半径5cm、AH = 4.8cm.

円錐のポップコーン容器 - 相似比と体積

文化祭のポップコーン販売で使う容器を、画用紙で作ることになった。容器は、底面の半径が6cm、高さが8cm、母線の長さが10cmの円錐形で、頂点を下にして置き、上側は開いたまま使う（ふたはつけない）。画用紙は側面の部分だけに使い、のりしろは考えない。容器の厚さも無視し、円周率はπを用いる。 実行委員から、次の3つの相談が届いた。 ① 1つの容器に水は何cm³入るか。また、側面に使う画用紙の面積は何cm²か。 ② 容器に毎秒3π cm³の割合で水を入れるとき、水面の高さが4cmになるのは何秒後か。 ③ 同じ容積で、底面の半径が6cmの円柱の容器を作るなら、高さは何cmにすればよいか。 担当の教員は「円錐の体積は円柱の3分の1」という関係を使って説明するよう指示したが、生徒の中には「形が違うのだから単純に3分の1にはならないのではないか」と疑問をもつ生徒もいる。昨年は容器を200個用意して120個売れたので、今年は300個用意する予定である。. 毎秒3π cm³の割合で水を入れるとき、水面の高さが4cmになるのは何秒後か。また、そのときの水面の半径を求めよ。. 同じ容積で底面の半径が6cmの円柱の容器を作るとき、高さは何cmにすればよいか。「円錐は円柱の3分の1」という関係と関連づけて説明せよ。. 容積は、底面積 × 高さ × 1/3。底面積は π × 6² = 36π cm²。 V = (1/3) × 36π × 8 = 96π cm³ 側面の面積は、扇形の弧の長さ（底面の円周）と母線から求める。 側面積 = π × r × l = π × 6 × 10 = 60π cm² （扇形の中心角を求めると 360° × 12π/20π = 216° で、π × 10² × 216/360 = 60π としても同じ） 答え：容積 96π cm³、側面積 60π cm².

読書量の調査 - 代表値の選び方と確率