円に内接する直角三角形 - 相似の利用と弦の性質
3年の数学の授業で、円と相似について調べる活動を行った。半径5cmの円Oの周上に3点A、B、Cをとると、∠BAC = 90°、AB = 6cm、AC = 8cmになった。点Aから辺BCに垂線AHを下ろし、さらにAHを延長して円Oと交わる点をDとする。コンパスと定規でかいた図をもとに、次の3つの意見が出た。
拓也さん「BCは円Oの直径になっているはずだ。」 結衣さん「△ABHと△CAHは相似になるので、BHとCHの長さが分かる。」 先生「AHを延長して円と交わる点をDとすると、HはADのちょうど真ん中になるよ。」
図は正確にかかれているとは限らないので、長さを測って確かめるのではなく、計算や証明によって確かめることにした。クラスは32人で4人班に分かれて取り組み、AHの長さを面積から求める班と、相似から求める班の両方があった。相似の証明では、使った角が等しいといえる根拠も書くことが求められている。
1. 円Oの半径と、線分AHの長さを求めよ。
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∠BAC = 90° なので △ABC は直角三角形。三平方の定理より
BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 BC = 10cm
円Oの半径は、弦BCが直径であることから BC の半分で 5cm。
AHは△ABCの面積を2通りに表すことで求められる。
(1/2) × 6 × 8 = 24 (1/2) × 10 × AH
よって 10 × AH / 2 = 24 より AH = 24 ÷ 5 = 4.8cm。
答え：半径5cm、AH = 4.8cm
2. △ABH ∽ △CAH であることを証明し、BHとCHの長さを求めよ。
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【証明】 △ABH と △CAH において
∠AHB = ∠CHA = 90° …①
また、△ABH の内角の和から ∠BAH = 180° − 90° − ∠ABH = 90° − ∠ABC
一方、△ABC は ∠A = 90° の直角三角形なので ∠ACB = 90° − ∠ABC
したがって ∠BAH = ∠ACB = ∠ACH …②
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので △ABH ∽ △CAH
【長さ】 相似比は AB : CA = 6 : 8 = 3 : 4。対応する辺は BH と AH、AH と CH。
BH : AH = 3 : 4 より BH = (3/4) × 4.8 = 3.6cm AH : CH = 3 : 4 より 4.8 : CH = 3 : 4、CH = 4.8 × 4/3 = 6.4cm
検算：BH + CH = 3.6 + 6.4 = 10 = BC で一致する。
答え：BH = 3.6cm、CH = 6.4cm
3. AHを延長して円Oと交わる点をDとするとき、ADの長さを求めよ。また、そうなる理由を説明せよ。
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円Oの中心Oは、直径BCの中点である。B、H、O、Cはすべて直線BC上にあり、AHはBCに垂直だから、OH ⊥ AD である。
円の中心Oから弦ADに引いた垂線は、弦ADを2等分する。よってHはADの中点になり、
AD = 2 × AH = 2 × 4.8 = 9.6cm
答え：AD = 9.6cm
補足：この性質は「円の中心から弦に引いた垂線は、その弦を2等分する」というもので、三平方の定理からも確かめられる。OA = OD = 5cm（半径）で、直角三角形OAH と ODH は斜辺と1辺OHが共通なので合同になり、AH = DH がいえる。