円錐のポップコーン容器 - 相似比と体積
文化祭のポップコーン販売で使う容器を、画用紙で作ることになった。容器は、底面の半径が6cm、高さが8cm、母線の長さが10cmの円錐形で、頂点を下にして置き、上側は開いたまま使う（ふたはつけない）。画用紙は側面の部分だけに使い、のりしろは考えない。容器の厚さも無視し、円周率はπを用いる。
実行委員から、次の3つの相談が届いた。 ① 1つの容器に水は何cm³入るか。また、側面に使う画用紙の面積は何cm²か。 ② 容器に毎秒3π cm³の割合で水を入れるとき、水面の高さが4cmになるのは何秒後か。 ③ 同じ容積で、底面の半径が6cmの円柱の容器を作るなら、高さは何cmにすればよいか。
担当の教員は「円錐の体積は円柱の3分の1」という関係を使って説明するよう指示したが、生徒の中には「形が違うのだから単純に3分の1にはならないのではないか」と疑問をもつ生徒もいる。昨年は容器を200個用意して120個売れたので、今年は300個用意する予定である。
1. この円錐の容器の容積と、側面に使う画用紙の面積を求めよ。
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容積は、底面積 × 高さ × 1/3。底面積は π × 6² = 36π cm²。
V = (1/3) × 36π × 8 = 96π cm³
側面の面積は、扇形の弧の長さ（底面の円周）と母線から求める。
側面積 = π × r × l = π × 6 × 10 = 60π cm²
（扇形の中心角を求めると 360° × 12π/20π = 216° で、π × 10² × 216/360 = 60π としても同じ）
答え：容積 96π cm³、側面積 60π cm²
2. 毎秒3π cm³の割合で水を入れるとき、水面の高さが4cmになるのは何秒後か。また、そのときの水面の半径を求めよ。
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水面より下の部分は、容器と相似な円錐である。相似比は高さの比で
4 : 8 = 1 : 2
体積比は相似比の3乗なので 1³ : 2³ = 1 : 8。
水の体積 = 96π × 1/8 = 12π cm³
毎秒3π cm³ で入るので
12π ÷ 3π = 4秒後
水面の半径も相似比から 6 × 1/2 = 3cm。
答え：4秒後、水面の半径は3cm
注意：高さが半分だから体積も半分、と考えてはいけない。相似な立体では、長さの比が1:2なら体積比は1:8になる。
3. 同じ容積で底面の半径が6cmの円柱の容器を作るとき、高さは何cmにすればよいか。「円錐は円柱の3分の1」という関係と関連づけて説明せよ。
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円柱の底面積は π × 6² = 36π cm²。高さを h cm とすると、容積は 36πh cm³。
これが円錐の容積 96π cm³ と等しいので
36πh = 96π h = 96/36 = 8/3 cm
「3分の1」との関係：底面積と高さが同じなら、円錐の体積は円柱のちょうど1/3になる。逆に、容積を同じにして底面積も同じにするなら、円柱の高さは円錐の高さの1/3でよい。実際 8 × 1/3 = 8/3 cm となり、上の計算と一致する。
「形が違うから3分の1にならない」という疑問は、底面積や高さが異なる場合の話と混同している。同じ底面積・同じ高さという条件のもとでは、1/3という関係はいつでも成り立つ。
答え：8/3 cm（約2.67cm）