9V電池で6V・3W電球を定格点灯させる抵抗選び
文化祭の展示で、9.0 V の電池に「6.0 V、3.0 W」と表示された電球をつなぎ、定格の明るさで点灯させたい。電球の抵抗は温度によって変わらず、電池の内部抵抗は無視できるものとする。手元にある抵抗は「6Ω、1W」と「10Ω、5W」の2種類だけで、買い足しはできない。生徒Aは6Ωの抵抗を、生徒Bは10Ωの抵抗を、それぞれ電球と直列につなぐ案を出した。生徒Cは抵抗を使わずに電球を直接つなぐ案を出した。先生は「A案は抵抗の定格電力が足りないおそれがあり、B案は明るさが足りないおそれがある。C案は電球を傷めるので試さない」と説明した。実際にA案で電流を流すと、電球は明るく点灯したが、抵抗器の表面は触れないほど熱くなった。A案の電流計は0.50 Aを示した。B案の電流計は約0.41 Aを示し、電球は暗いオレンジ色になった。C案では電球に9.0 Vがかかる。使用できる器具は電池、電球、抵抗、導線、電流計、電圧計である。生徒たちは「抵抗を直列に入れれば電圧が下がる」ことは知っているが、必要な抵抗値と定格電力を計算で決めたことはない。
1. A案で電球が定格どおりに点灯するとき、電球に流れる電流と電球の抵抗を求めよ。また、9.0 Vのうち3.0 Vを抵抗で分担する必要があることを、直列回路の電圧の関係から説明せよ。
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電球の定格は6.0 V、3.0 Wなので、定格電流は
- I = P / V = 3.0 W / 6.0 V = 0.50 A
電球の抵抗は
- R = V / I = 6.0 V / 0.50 A = 12Ω
直列回路では、電源電圧は各部分にかかる電圧の和になる。電球に定格の6.0 Vをかけるには、残りの
- 9.0 V - 6.0 V = 3.0 V
を抵抗で分担すればよい。直列なので抵抗にも0.50 Aが流れるから、必要な抵抗は
- R = 3.0 V / 0.50 A = 6.0Ω
したがって、A案の6Ωは抵抗値としては正しい。
2. A案の6Ω、1Wの抵抗を使ってよいか。消費電力を計算して定格と比べよ。また、B案で電球が暗くなる理由を、回路全体の抵抗、電流、電球の消費電力を用いて説明せよ。
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A案で6Ωの抵抗に流れる電流は0.50 Aなので、消費電力は
- P = I²R = (0.50 A)² × 6Ω = 0.25 × 6 = 1.5 W
定格は1 Wであるから、1.5 Wは定格を超えている。実際に表面が触れないほど熱くなったことと一致し、長期使用では抵抗器が破損するおそれがある。抵抗値は正しくても、定格電力が不足しているのでA案はそのままでは使えない。
B案では回路全体の抵抗が
- 12Ω + 10Ω = 22Ω
なので、電流は
- I = 9.0 V / 22Ω ≈ 0.409 A
電球の消費電力は
- P = I²R = (0.409 A)² × 12Ω ≈ 2.0 W
定格3.0 Wより小さいため、電力が不足して暗いオレンジ色になる。
3. C案で電球を直接9.0 Vにつないだとき、電球に流れる電流と消費電力を求め、定格と比べて何が起こるか説明せよ。ただし電球の抵抗は12Ωのままとする。
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C案では電球に9.0 Vがそのままかかる。電球の抵抗を12Ωとすると、電流は
- I = 9.0 V / 12Ω = 0.75 A
消費電力は
- P = V × I = 9.0 V × 0.75 A = 6.75 W
または P = I²R = (0.75 A)² × 12Ω = 6.75 W
定格3.0 Wの2倍以上である。フィラメントが高温になりすぎ、電球が切れたり、電池が過熱したりする危険がある。だから先生はC案を試さないように指示している。