棒と支点で600Nの石を持ち上げるときの力と仕事
学校の裏庭に、重さ600 Nの石がある。これを長さ1.5 mの丈夫な棒と支点を使って持ち上げる。棒の重さは無視でき、支点は石から0.30 mの位置に置いた。棒の反対側の端を手で真下に押すと、石はゆっくり持ち上がった。このとき手が加えた力は150 Nで、石を0.10 m持ち上げる間に手は0.40 m動いた。次に、同じ棒で支点を石から0.20 mの位置に移し、同じように端を押すと、手に必要な力は小さくなったが、手を動かす距離は長くなった。支点を移した後、石を0.10 m持ち上げる間に手は0.65 m動いた。生徒Aは「支点を石に近づけるほど、必要な力は小さくなるが、仕事は小さくなる」と言い、生徒Bは「仕事は変わらないが、力は小さくなる」と言った。先生は「仕事の原理を確認してごらん」とだけ言った。棒は水平に近い状態で使われ、摩擦は無視できるものとする。石は一気に持ち上げず、ゆっくり一定の速さで動かすものとする。
1. 支点が石から0.30 mのとき、600 Nの石を持ち上げるのに必要な力を、力のモーメントのつり合いから計算せよ。また、実際の150 Nと一致するか確認せよ。
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支点を中心に考える。石にはたらく力のモーメントは
- 600 N × 0.30 m = 180 N·m
手の力のうでは、棒全体が1.5 mなので
- 1.5 m - 0.30 m = 1.20 m
つり合っているとき、手の力Fは
- F × 1.20 m = 180 N·m
- F = 180 / 1.20 = 150 N
実際に手が加えた力も150 Nなので、力のモーメントのつり合いと一致している。
2. 支点を石から0.20 mに移したとき、必要な力と、石を0.10 m持ち上げるために手が動かす距離を求めよ。ただし、棒は水平に近い状態を保つものとする。
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支点が石から0.20 mのとき、石のモーメントは
- 600 N × 0.20 m = 120 N·m
手のうでは
- 1.5 m - 0.20 m = 1.30 m
必要な力は
- F = 120 / 1.30 ≈ 92.3 N
つまり約92 Nで、150 Nより小さくなる。
手が動く距離は、支点からの距離の比で決まる。
- 手のうで : 石のうで = 1.30 : 0.20 = 6.5 : 1
石が0.10 m上がるとき、手は
- 0.10 m × 6.5 = 0.65 m
動く。実際の記録とも一致する。
3. 生徒AとBのどちらが正しいか。支点を移す前後での仕事を数値で比べ、仕事の原理に触れて説明せよ。また、実際の棒と支点に摩擦がある場合、手がしなければならない仕事は60 Jより大きくなるか、小さくなるか。
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支点を移す前の仕事は
- 150 N × 0.40 m = 60 J
支点を移した後の仕事は
- 92.3 N × 0.65 m ≈ 60 J
どちらも、石を直接持ち上げる仕事
- 600 N × 0.10 m = 60 J
と等しい。つまり、支点の位置を変えると力は小さくなるが、その分だけ手が動く距離が長くなり、仕事の大きさは変わらない。これが仕事の原理である。したがって、生徒Bが正しい。
実際に摩擦があると、摩擦に逆らってする仕事が余分に必要になる。だから手がしなければならない仕事は60 Jより大きくなる。力のモーメントのつり合いだけでは足りず、摩擦の分を見込む必要がある。