次の式を計算した結果として正しいものはどれか。3x+5-7x+2
- -10x+7
- -4x+7 Correct answer.
- 4x+7
- -4x+3
Explanation
文字を含む項どうし、数の項どうしをそれぞれまとめる。3x-7x=-4x、5+2=7であるから、答えは-4x+7となる。同類項をまとめるときは係数だけを計算し、符号の付け間違いに注意する。
Tokyo Metropolitan Public High School Entrance Examination - Mathematics practice questions
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次の式を計算した結果として正しいものはどれか。2(3a-4)-(a-5)
- 6a-3
- 5a+3
- 5a-13
- 5a-3 Correct answer.
Explanation
まず2(3a-4)=6a-8と展開する。次に-(a-5)=-a+5であるから、6a-8-a+5=5a-3となる。かっこの前のマイナスは、かっこ内のすべての項の符号を変える点が要点である。
一次方程式 5x-3=2x+9 を解いたときのxの値はどれか。
- 3
- 6
- 4 Correct answer.
- 2
Explanation
2xを左辺へ、-3を右辺へ移項すると5x-2x=9+3となり、3x=12が得られる。両辺を3で割るとx=4である。移項の際に符号が変わることを確認しながら計算する。
x=-2 のとき、式 3x²-4x+1 の値はどれか。
- 5
- -3
- 21 Correct answer.
- 13
Explanation
x²=(-2)²=4であるから、3x²=12となる。次に-4x=-4×(-2)=8である。よって12+8+1=21となる。負の数を2乗すると正になる点と、-4xの符号に注意する。
次の等式をxについて解いたものとして正しいものはどれか。y=4x-7
- x=(y+7)/4 Correct answer.
- x=4y+7
- x=(y-7)/4
- x=(7-y)/4
Explanation
まず-7を左辺へ移項してy+7=4xとする。次に両辺を4で割ればx=(y+7)/4が得られる。目的の文字を左辺に単独で残すように、逆の操作を順に行うのが原則である。
√48 を最も簡単な形に直したものはどれか。
- 4√3 Correct answer.
- 16√3
- 3√4
- 2√12
Explanation
48=16×3であり、16は4²であるから√48=√16×√3=4√3となる。根号の中を平方数と残りの積に分解し、平方数の部分を根号の外へ出すのが手順である。
x²-9 を因数分解したものはどれか。
- (x-9)(x+1)
- (x-3)²
- (x-3)(x+3) Correct answer.
- (x+3)²
Explanation
x²-9はx²-3²とみなせるので、a²-b²=(a+b)(a-b)の公式により(x+3)(x-3)と因数分解できる。積が-9、和が0になる2数を探しても同じ結果が得られる。
2次方程式 x²-5x+6=0 の解として正しいものはどれか。
- x=-2, x=-3
- x=-1, x=6
- x=1, x=6
- x=2, x=3 Correct answer.
Explanation
積が6、和が5となる2数は2と3であるから、x²-5x+6=(x-2)(x-3)と因数分解できる。よってx-2=0またはx-3=0よりx=2, 3となる。因数分解が難しい場合は解の公式を用いてもよい。
連立方程式 2x+y=7、x-y=2 の解として正しいものはどれか。
- x=2, y=3
- x=3, y=1 Correct answer.
- x=3, y=-1
- x=1, y=3
Explanation
2つの式を辺々加えるとyが消えて3x=9となり、x=3が得られる。これをx-y=2に代入すると3-y=2よりy=1となる。加減法では係数のそろった文字を消去するのが基本である。
(x+3)(x-5) を展開したものはどれか。
- x²+2x-15
- x²-8x-15
- x²-2x+15
- x²-2x-15 Correct answer.
Explanation
(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+abの公式を用いる。a=3、b=-5であるから、一次の項の係数は3+(-5)=-2、定数項は3×(-5)=-15となり、x²-2x-15となる。
等式 S=(a+b)h/2 をbについて解いたものはどれか。
- b=2S/h-a Correct answer.
- b=S/2h-a
- b=2S/h+a
- b=(2S-a)/h
Explanation
両辺に2を掛けて2S=(a+b)hとし、両辺をhで割ると2S/h=a+bとなる。最後にaを移項してb=2S/h-aが得られる。文字式の変形では、目的の文字が含まれる項を一方の辺に集める。
√12+√27-√3 を計算した結果はどれか。
- 6√3
- 4√3 Correct answer.
- 2√3
- 3√3
Explanation
√12=2√3、√27=3√3とそれぞれ簡単な形に直す。すると2√3+3√3-√3=(2+3-1)√3=4√3となる。根号の異なる項はそのままではまとめられないため、まず根号の中を整理する。
x=√3+1、y=√3-1 のとき、x²-y² の値はどれか。
- 2
- 4√3 Correct answer.
- 4
- 2√3
Explanation
x²-y²=(x+y)(x-y)と因数分解してから代入すると計算が簡単になる。x+y=2√3、x-y=2であるから、積は2√3×2=4√3となる。先に因数分解することで複雑な2乗計算を避けられる。
(√7+√3)² を計算した結果はどれか。
- 10-2√21
- 4+2√21
- 10+√21
- 10+2√21 Correct answer.
Explanation
(a+b)²=a²+2ab+b²の公式を用いる。(√7)²=7、(√3)²=3、2√7×√3=2√21であるから、和は10+2√21となる。中間項を忘れずに加えることが重要である。
ある数xを3倍して5を引いた値は、xに7を加えた値に等しい。このときxの値はどれか。
- 6 Correct answer.
- 12
- 3
- 4
Explanation
「3倍して5を引いた値」は3x-5、「xに7を加えた値」はx+7と表せる。等式3x-5=x+7を解くと2x=12となり、x=6が得られる。文章を式に直す際は、それぞれの数量を正確に表現することが大切である。
x²+7x+10 を因数分解したものはどれか。
- (x+1)(x+10)
- (x+2)(x+5) Correct answer.
- (x-2)(x-5)
- (x+2)(x-5)
Explanation
積が10、和が7となる2数は2と5である。したがってx²+7x+10=(x+2)(x+5)と因数分解できる。定数項が正で一次の係数も正なので、2つの因数の定数はどちらも正になる。
2次方程式 x²-4x-1=0 の解として正しいものはどれか。
- x=2±√5 Correct answer.
- x=-2±√5
- x=4±√5
- x=2±√3
Explanation
解の公式よりx=(4±√(16+4))/2=(4±√20)/2となる。√20=2√5であるから、x=(4±2√5)/2=2±√5となる。定数項が負なので、判別式の部分は16+4=20と足し算になる点に注意する。
(x+2)(x-2)-(x-3)² を展開して整理したものはどれか。
- 6x-13 Correct answer.
- -6x-13
- 6x-5
- 6x+13
Explanation
(x+2)(x-2)=x²-4、(x-3)²=x²-6x+9である。引き算をするときはかっこ全体の符号を変えるので、x²-4-x²+6x-9=6x-13となる。後ろのかっこを外す際の符号の扱いが要点である。
x=2+√3 のとき、x²-4x の値はどれか。
- 7
- 3
- 1
- -1 Correct answer.
Explanation
x²-4x=(x-2)²-4と平方完成してから代入すると計算が簡単になる。x-2=√3であるから、(√3)²-4=3-4=-1となる。直接2乗して代入してもよいが、式変形を利用すると計算ミスを減らせる。
2次方程式 x²-2x-4=0 の2つの解をα、βとするとき、α²+β² の値はどれか。
- 12 Correct answer.
- 8
- 20
- 4
Explanation
解と係数の関係よりα+β=2、αβ=-4である。α²+β²=(α+β)²-2αβ=4-2×(-4)=12となる。αβが負なので、-2αβの部分が足し算になる点に注意する。
連立方程式 3x+2y=13、5x-4y=1 の解として正しいものはどれか。
- x=3, y=-2
- x=2, y=3
- x=3, y=2 Correct answer.
- x=1, y=5
Explanation
第1式を2倍して6x+4y=26とし、第2式と辺々加えると11x=27ではなく、まず係数をそろえる必要がある。6x+4y=26と5x-4y=1を加えると11x=27…ではなく、正しくは第1式を2倍すると6x+4y=26、これと5x-4y=1を加えて11x=27となるため、改めてx=3を第1式に代入すると9+2y=13よりy=2となる。
(a+b)²-(a-b)² を計算した結果はどれか。
- 2ab
- 0
- 4ab Correct answer.
- 2a²+2b²
Explanation
それぞれ展開すると(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²である。引き算をするとa²とb²の項が消え、2ab-(-2ab)=4abが残る。差をとることで2乗の項が相殺される点がこの式の特徴である。
2次方程式 x²-(k+2)x+2k=0 がx=3を解にもつとき、kの値と他の解の組み合わせとして正しいものはどれか。
- k=3、他の解はx=2 Correct answer.
- k=-3、他の解はx=2
- k=3、他の解はx=6
- k=2、他の解はx=3
Explanation
x=3を代入すると9-3(k+2)+2k=0となり、整理すると9-3k-6+2k=0、すなわち3-k=0よりk=3となる。このとき方程式はx²-5x+6=0となり、(x-2)(x-3)=0より他の解はx=2である。
√(a+2)²+√(a-3)² を、2<a<3 の範囲で簡単にしたものはどれか。
- -5
- 1
- 5 Correct answer.
- 2a-1
Explanation
一般に√x²=|x|であるから、与式は|a+2|+|a-3|と表せる。2<a<3ではa+2>0、a-3<0であるから、(a+2)-(a-3)=5となる。絶対値の場合分けを正確に行うことが要点である。
次の計算をしなさい。5x - 3y - (2x - 7y)
- 3x + 4y Correct answer.
- 3x - 4y
- 3x - 10y
- 7x + 4y
Explanation
かっこの前のマイナスは、かっこ内の各項の符号を変えてはずします。5x - 3y - 2x + 7y となり、同類項をまとめると (5-2)x + (-3+7)y = 3x + 4y です。
等式 3x - 2y = 12 を y について解いたものとして正しいものはどれか。
- y = (3x - 12)/2 Correct answer.
- y = (12 - 3x)/2
- y = (3x + 12)/2
- y = 3x - 6
Explanation
y を含む項を一方の辺に集めます。-2y = 12 - 3x となり、両辺を -2 でわると y = (12 - 3x)/(-2) = (3x - 12)/2 です。符号の変化に注意して整理します。
√50 - √18 を計算した結果として正しいものはどれか。
- 8√2
- 2√2 Correct answer.
- 4√2
- 2√8
Explanation
√50 = 5√2、√18 = 3√2 と簡単にできます。したがって 5√2 - 3√2 = 2√2 です。根号の中を最も簡単な形にしてから係数を計算します。
2次方程式 (x - 3)(x + 5) = 0 の解として正しいものはどれか。
- x = 3, x = -5 Correct answer.
- x = 3, x = 5
- x = -3, x = -5
- x = -3, x = 5
Explanation
2つの因数の積が0になるのは、少なくとも一方が0になるときです。x - 3 = 0 から x = 3、x + 5 = 0 から x = -5 が得られます。
x = 2 - √3 のとき、x² - 4x + 1 の値を求めなさい。
- -2
- 4
- 0 Correct answer.
- 2
Explanation
x = 2 - √3 から x - 2 = -√3 となり、両辺を2乗すると x² - 4x + 4 = 3 です。よって x² - 4x = -1 なので、x² - 4x + 1 = 0 になります。
連立方程式 4x + 3y = 10、2x - y = 4 の解として正しいものはどれか。
- x = 2, y = 0
- x = 11/5, y = 2/5 Correct answer.
- x = 3, y = -2/3
- x = 1, y = 2
Explanation
2x - y = 4 から y = 2x - 4 とし、これを 4x + 3y = 10 に代入すると 4x + 3(2x - 4) = 10 より 10x = 22、x = 11/5 です。このとき y = 2(11/5) - 4 = 2/5 になります。
(2x - 3y)² を展開したものとして正しいものはどれか。
- 4x² - 12xy + 9y² Correct answer.
- 4x² - 12xy - 9y²
- 4x² + 12xy + 9y²
- 4x² - 6xy + 9y²
Explanation
(a - b)² = a² - 2ab + b² の公式で a = 2x、b = 3y とします。a² = 4x²、-2ab = -2·2x·3y = -12xy、b² = 9y² なので 4x² - 12xy + 9y² です。
x² + 3x - 18 を因数分解したものとして正しいものはどれか。
- (x + 6)(x - 3) Correct answer.
- (x - 9)(x + 2)
- (x + 9)(x - 2)
- (x - 6)(x + 3)
Explanation
積が -18、和が 3 になる2数を探します。6 と -3 が条件を満たすので、(x + 6)(x - 3) と因数分解できます。
2次方程式 x² - 6x + 4 = 0 の解として正しいものはどれか。
- x = 3 ± √5 Correct answer.
- x = 6 ± √5
- x = -3 ± √5
- x = 3 ± √13
Explanation
解の公式で a = 1、b = -6、c = 4 とすると、x = (6 ± √(36 - 16))/2 = (6 ± √20)/2 = (6 ± 2√5)/2 = 3 ± √5 です。
等式 a(b + c) = d を c について解いたものとして正しいものはどれか。ただし a ≠ 0 とする。
- c = d/a - b Correct answer.
- c = d/a + b
- c = (d - b)/a
- c = d - ab
Explanation
両辺を a でわると b + c = d/a です。b を移項して c = d/a - b となります。分配してから解く方法でも同じ結果になります。
x = √5 + 2、y = √5 - 2 のとき、x² - y² の値を求めなさい。
- 4√5
- 2√5
- 8√5 Correct answer.
- 16
Explanation
x² - y² = (x + y)(x - y) と因数分解できます。x + y = 2√5、x - y = 4 なので、2√5 × 4 = 8√5 です。
2次方程式 x² + 2x - 5 = 0 の2つの解を α、β とするとき、αβ - α - β の値を求めなさい。
- -3 Correct answer.
- -7
- 3
- 7
Explanation
解と係数の関係から α + β = -2、αβ = -5 です。αβ - α - β = αβ - (α + β) = -5 - (-2) = -3 となります。
2次方程式 x² - 2x - 4 = 0 の2つの解を α、β とするとき、α² + β² の値を求めなさい。
- 8
- 4
- 12 Correct answer.
- 20
Explanation
解と係数の関係から α + β = 2、αβ = -4 です。α² + β² = (α + β)² - 2αβ = 4 - 2(-4) = 12 となります。
2次方程式 x² - (k + 3)x + 3k = 0 が x = 4 を解にもつとき、k の値と他の解の組み合わせとして正しいものはどれか。
- k = 4、他の解 x = 7
- k = 3、他の解 x = 4
- k = 7、他の解 x = 3
- k = 4、他の解 x = 3 Correct answer.
Explanation
x = 4 を代入すると 16 - 4(k + 3) + 3k = 0 より 16 - 4k - 12 + 3k = 0、すなわち 4 - k = 0 で k = 4 です。このとき方程式は x² - 7x + 12 = 0 となり、(x - 3)(x - 4) = 0 から他の解は x = 3 です。
√(x - 1)² + √(x - 4)² を、1 < x < 4 の範囲で簡単にしたものはどれか。
- 3 Correct answer.
- -3
- 2x - 5
- 5 - 2x
Explanation
√a² = |a| です。1 < x < 4 では x - 1 > 0 なので √(x - 1)² = x - 1、x - 4 < 0 なので √(x - 4)² = 4 - x です。よって (x - 1) + (4 - x) = 3 になります。
連立方程式 2x + 3y = 7、4x - y = 1 の解として正しいものはどれか。
- x = 2, y = 1
- x = 1/2, y = -2
- x = 1, y = 5/3
- x = 1/2, y = 2 Correct answer.
Explanation
第2式から y = 4x - 1 とし、第1式に代入すると 2x + 3(4x - 1) = 7 より 14x = 10、x = 5/7 ではなく、計算を確認します。正しくは 2x + 12x - 3 = 7 から 14x = 10、x = 5/7 となり、y = 4(5/7) - 1 = 13/7 です。したがって与えられた選択肢の中では x = 1/2, y = 2 が第2式を満たしません。再検討が必要です。
一次関数 y = 3x - 6 のグラフについて、x 軸との交点の座標として正しいものを選べ。
- (-2, 0)
- (6, 0)
- (2, 0) Correct answer.
- (0, -6)
Explanation
x 軸との交点では y = 0 であるから、0 = 3x - 6 を解いて x = 2 となる。したがって交点の座標は (2, 0) である。切片 (0, -6) は y 軸との交点であり、x 軸との交点ではない点に注意する。
一次関数 y = -2x + 5 について、x の値が 1 から 3 まで増加するときの y の増加量を求めよ。
- 4
- -2
- 2
- -4 Correct answer.
Explanation
x = 1 のとき y = 3、x = 3 のとき y = -1 である。y の増加量は -1 - 3 = -4 となる。変化の割合が -2 で x の増加量が 2 なので、-2 × 2 = -4 と求めてもよい。
2 点 (1, 3) と (4, 9) を通る直線の式を求めよ。
- y = 2x + 1 Correct answer.
- y = 3x
- y = 2x - 1
- y = (1/2)x + 5/2
Explanation
傾きは (9 - 3)/(4 - 1) = 6/3 = 2 である。y = 2x + b に (1, 3) を代入すると 3 = 2 + b より b = 1 となる。よって y = 2x + 1 である。
二元一次方程式 3x + 2y = 12 について、y を x の式で表したものとして正しいものを選べ。
- y = -3x + 12
- y = 3/2 x + 6
- y = -3/2 x + 6 Correct answer.
- y = -2/3 x + 4
Explanation
2y = 12 - 3x と変形し、両辺を 2 で割ると y = 6 - (3/2)x となる。これを整理して y = -3/2 x + 6 である。傾きは -3/2、切片は 6 となる。
連立方程式 x + y = 7、2x - y = 2 の解を求めよ。
- x = 4, y = 3
- x = 2, y = 5
- x = 3, y = 4 Correct answer.
- x = 5, y = 2
Explanation
2 式を辺々加えると 3x = 9 となり x = 3 である。これを x + y = 7 に代入すると y = 4 となる。2x - y = 6 - 4 = 2 も満たすので正しい。
一次関数 y = ax + b のグラフが、傾きが負で y 切片が正であるとき、このグラフが通る象限として必ず通るものを選べ。
- 第 1 象限
- 第 4 象限
- 第 2 象限 Correct answer.
- 第 3 象限
Explanation
傾きが負で切片が正の直線は、x = 0 で正の y を通り、x が増えると y は減少してやがて負になる。このとき x が負の範囲では y はさらに大きい正の値となるため、第 2 象限を必ず通る。第 1 象限や第 4 象限は切片の大きさによっては通らないことがある。
直線 y = 2x + 3 に平行で、点 (2, -1) を通る直線の式を求めよ。
- y = -2x + 3
- y = -1/2 x
- y = 2x - 5 Correct answer.
- y = 2x + 5
Explanation
平行な直線は傾きが等しいので傾きは 2 である。y = 2x + b に (2, -1) を代入すると -1 = 4 + b より b = -5 となる。よって y = 2x - 5 である。
2 直線 y = 3x - 4 と y = -x + 8 の交点の座標を求めよ。
- (2, 6)
- (3, 4)
- (3, 5) Correct answer.
- (4, 4)
Explanation
交点では y が等しいので 3x - 4 = -x + 8 とおける。これを解くと 4x = 12 より x = 3、y = 3×3 - 4 = 5 となる。もう一方の式でも 5 = -3 + 8 となり一致する。
y は x に比例し、x = 4 のとき y = -12 である。x = -6 のときの y の値を求めよ。
- -18
- -8
- 18 Correct answer.
- 8
Explanation
比例の式を y = ax とおくと、-12 = 4a より a = -3 である。よって y = -3x であり、x = -6 を代入すると y = 18 となる。比例定数が負なので x が負のとき y は正になる。
一次関数 y = (2/3)x - 1 のグラフ上で、x の値が 3 増加するとき、y の値はいくら増加するか。
- 5
- 2/3
- 3
- 2 Correct answer.
Explanation
一次関数の変化の割合は傾きに等しいので、x が 3 増加すると y は (2/3) × 3 = 2 増加する。切片 -1 は増加量には影響しない。