Tokyo Metropolitan Public High School Entrance Examination - Mathematics case studies
Tokyo Metropolitan Public High School Entrance Examination - Mathematics · Put your knowledge to work in context.
The Tokyo Metropolitan Public High School Entrance Examination in Mathematics (東京都立高等学校入学者選抜学力検査 数学) is the mathematics paper used by Tokyo's metropolitan public high schools to decide admission, usually alongside Japanese, English, social studies and science, plus an interview or essay depending on the school and selection method. It is taken by students finishing compulsory education, mainly third-year junior high students, and by some applicants with equivalent qualifications. It is a general academic-achievement test, not a specialised mathematics certification. The paper is written, answer-only in places and constructed-response elsewhere, and calculators are not permitted. Topics on this exam: Numbers and Algebraic Expressions, Linear Equations and Functions, Quadratic Functions and Equations, Geometry: Plane Figures and Angles, Geometry: Congruence and Similarity, and Data Handling and Probability. The Tokyo Metropolitan Public High School Entrance Examination - Mathematics case studies are 5 cases and about 693 words.
1わたあめ店の販売価格--切り上げと四捨五入を取り違えた見積もり
3年生の有志9人が、10月の地域祭りでわたあめ店を出すことになった。わたあめ1個を作るには、砂糖24円と割りばし8円を合わせた a 円の材料と、袋1枚 b 円が必要で、袋はわたあめ1個につき1枚使う。当日の販売価格は、1個あたりの材料費 (a+b) 円に諸経費としてその15%を上乗せし、10円単位で切り上げた金額と決めた。たとえば材料費が100円なら115円、これを10円単位に切り上げて120円とする。会計係のAさんは「価格は 1.15(a+b) 円だから、a=32、b=6 のときは 43.7 円、四捨五入して44円」と計算した。Bさんは「切り上げなのだから違うはずだ」と言い、二人で電卓をたたき直すことにした。当日は205個売れた。売上金から材料費を引いた残りを9人で等分し、割り切れない端数は文化祭の展示費用に回す。価格の切り上げで生じた分も売上金に含まれている。Aさんは1人分が300円以上になるようにしたいと考えている。この計算では作った個数と売った個数を同じとし、材料はその個数分だけ買い、他の固定費は考えない。わたあめは最大250個まで作れる。Bさんは1個50円を超えると客が減るのではないかと心配している。. 販売価格を a、b を用いて表しなさい。また、Aさんの計算「1.15(a+b)=43.7 だから四捨五入して44円」が、決めた規則とどう違うのかを説明しなさい。. a=32、b=6 のとき、205個売れた場合の1人分の金額を求めなさい。割り切れない端数は展示費用に回すものとします。. Aさんは1人分を300円以上にしたいと考えている。販売価格を変えずに、何個以上売る必要があるか。その個数が実行可能かどうかも判断しなさい。.
126 words, under 1 min2兄と弟の追いかけ--出発時刻を変えたときに追いつけるか
兄と弟が、家から1800m離れた駅へ向かう。弟は8時00分に家を出て、分速80mの一定の速さで歩いて駅へ向かった。兄は8時05分に家を出て、自転車に乗って分速240mの一定の速さで弟を追いかけた。兄の自転車の速さは弟の歩く速さの3倍である。兄は駅に着くとそのまま駅前で待ち、弟が来るのを待つ。家から駅までの道は一直線で、信号や坂はなく、二人の速さは途中で変わらないものとする。弟は「兄ちゃんは途中で追い抜いていくはずだ」と言い、兄は「駅に着くまでに追いつけるかどうか、計算してみよう」と答えた。弟は家を出てから駅に着くまでに何分かかるかを暗算しようとしたが、分速80mで1800mを進むときの計算で迷ってしまった。母は「もし兄の出発が8時15分になっていたら、二人は駅でばらばらになってしまうのではないか」と心配している。兄は駅に着いてから弟を待つ間に、駅前の時計で時刻を確かめるつもりでいる。駅前の時計は正しく動いているものとする。二人は、兄が出発する時刻を変えたときに追いつく場所がどう変わるかを、家を出てから x 分後の位置という考え方でまとめることにした。. 兄が8時05分に家を出るとき、兄が弟に追いつく時刻と、その地点は家から何mのところか求めなさい。. 考え方 兄が出発した時点で、弟はすでに5分歩いている。 弟の先行距離は 80×5 = 400 m。 1分間に縮まる差は 240−80 = 160 m。 時間 400 ÷ 160 = 2.5 分。 兄の出発は8時05分なので、追いつく時刻は8時07分30秒。 位置 兄が進んだ距離 240×2.5 = 600 m。 検算：弟は出発から 5+2.5 = 7.5 分歩いて 80×7.5 = 600 m。一致する。 答え 8時07分30秒、家から600mの地点。駅まで1800mなので、駅に着く前にはっきり追いつける。. 兄が駅に着く時刻 1800 ÷ 240 = 7.5 分。8時05分の7.5分後だから8時12分30秒。 弟が駅に着く時刻 1800 ÷ 80 = 22.5 分。8時00分の22.5分後だから8時22分30秒。 待ち時間 8時22分30秒 − 8時12分30秒 = 10 分。 別の求め方 兄が出発した8時05分の時点で弟は400m進んでおり、残りは1400m。弟はこれを 1400÷80 = 17.5 分で進む。兄は 7.5 分で駅に着くので、差は 17.5 − 7.5 = 10 分。同じ結果になる。 答え 10分待つ。.
111 words, under 1 min3文化祭パネルの余白--二次方程式の解を吟味する
3年生の文化祭の展示で、縦90cm、横120cmの長方形のパネルを1枚使うことになった。パネルの面積は 90×120 = 10800cm² である。このパネルの中央に写真を1枚貼り、写真のまわりには上下左右とも同じ幅 x cm の余白を残す。パネルは体育館の壁に直接とりつけるので、写真の位置を動かすことはできない。実行委員からは「写真の面積がパネル全体の面積のちょうど半分になるようにしてほしい」という条件が出ている。写真はパネルと同じ向きに貼るものとし、写真の縦の長さは 90−2x、横の長さは 120−2x と表せる。制作担当のAさんは x の方程式を立てて解き、x=15 と x=90 の2つの値が出た。Bさんは「解が2つ出たら、どちらでもよいのではないか」と言ったが、Cさんは「片方は使えない」と指摘した。余白の幅はものさしで測って決めるので、実際には整数cmで考える。また、Aさんは「写真とパネルが相似になるように余白をとれないか」とも考え、上下の余白と左右の余白の幅を変えることも検討している。. 写真の面積がパネルの面積の半分になるとして、x の方程式を立てて解き、余白の幅を求めなさい。. Bさんは「解が2つ出たらどちらでもよい」と言ったが、Cさんは「片方は使えない」と指摘した。x=90 が適さない理由を、写真の縦と横の長さを実際に計算して説明しなさい。. この課題では面積を半分にする条件をいったん外し、写真とパネルが相似になる条件だけを調べる。上下の余白をx cm、左右の余白をy cmとして関係を求め、正の同じ幅の余白では相似にならない理由も述べなさい。.
209 words, about 1 min4鏡を使った校舎の高さの測定--相似の対応を間違えない
3年生の総合的な学習の時間に、校舎の高さを測る活動をした。校舎の壁は地面に垂直で、地面は水平である。巻尺で直接測ることはできないので、班では次の方法をとった。校舎の壁から15m離れた地面の点に鏡を平らに置き、その鏡から1.2m後ろの地点に立ったAさんの目に、鏡の中の校舎の屋上がちょうど映った。Aさんの目の高さは地面から1.44mである。鏡に映るとき、入射角と反射角は等しい。鏡は点とみなし、大きさや厚みは考えない。Aさんはどの地点に立っても目の高さは1.44mで変わらないものとする。班のBさんは「これで高さが分かるのか」と首をかしげ、Cさんは「相似を使うのだ」と説明した。測定の誤差は考えないものとする。また、Aさんが鏡から2.4m後ろに下がると、鏡には屋上より低い位置が映ることも分かった。班では、この方法で求めた校舎の高さを使って、地上から12mの高さにある3階の窓を鏡に映すには、鏡を壁から何mの位置に置けばよいかも調べることになった。. Aさんが鏡から2.4m後ろに下がると、鏡には屋上より低い位置が映る。このことから、鏡に映る位置の高さと、鏡からAさんまでの距離の関係を説明しなさい。. 地上から12mの高さにある3階の窓を鏡に映したい。Aさんは鏡から1.2mの位置に立つとして、鏡を校舎の壁から何mの位置に置けばよいか求めなさい。. 三角形の設定 鏡の位置をM、Aさんの目の位置をE、Eの真下の地面の点をP、校舎の壁の真下の点をQ、屋上をFとする。 相似の根拠 ∠PME = ∠QMF（入射角と反射角が等しい） ∠MPE = ∠MQF = 90°（地面は水平、壁は鉛直） 2組の角がそれぞれ等しいので △MPE ∽ △MQF。 対応辺 MP と MQ、PE と QF が対応する。 MP = 1.2 m、MQ = 15 m、PE = 1.44 m、QF = h（校舎の高さ）。 計算 1.2 : 15 = 1.44 : h 1.2h = 15×1.44 = 21.6 h = 18。 答え 校舎の高さは18m。比 15÷1.2 = 12.5 倍を目の高さにかけて 1.44×12.5 = 18 m としても同じ。.
136 words, under 1 min5受付係の決め方--「同様に確からしい」を確かめる
2年生のクラスで、文化祭の受付係を3人の中から1人だけ決めることになった。受付係は1人だけ必要で、残りの2人は案内係を担当する。3人はAさん、Bさん、Cさんである。Aさんはさいころを1個使う方法を提案した。「1か2の目が出たらA、3か4の目が出たらB、5か6の目が出たらCにする」という案である。Bさんは「それでいい」と言ったが、Cさんは「6が出たときは投げ直したい」と言い出した。そこで、「1か2ならA、3か4ならB、5ならC、6ならもう一度投げ、その結果で1か2ならA、3か4ならB、5ならC、6ならさらに投げ直す」という方法に決まりかけた。クラスには、ほかにも「さいころを2個同時に投げて、出た目の和で決める」という案も出ている。さいころの目はどれも同じ程度に出やすく、1回1回の投げ方は独立であるとする。Cさんの案に納得していないBさんは、「この方法だと3人の確率は等しくならないのではないか」と疑問を持ち、クラス全体で確率を計算して確かめることになった。. Aさんの最初の案（1か2でA、3か4でB、5か6でC）が公平である理由を、「同様に確からしい」という言葉を使って説明しなさい。. Cさんの案（6が出たら投げ直す方法）で、Cさんが受付係になる確率を求めなさい。また、Aさん・Bさんの確率も求めて、この方法が公平かどうかを判断しなさい。. 同様に確からしいとは 起こり得る場合がどれも同じ程度に期待できるとき、それらは「同様に確からしい」という。さいころの1〜6の目は、どの目も同じ程度に出やすいとされているので、6通りの目は同様に確からしい。 確率の計算 Aになるのは1、2の2通り → 2/6 = 1/3 Bになるのは3、4の2通り → 2/6 = 1/3 Cになるのは5、6の2通り → 2/6 = 1/3 判断 3人とも確率が1/3で等しい。したがってこの決め方は公平である。 注意点 「2通りずつだから公平」ではなく、「6通りの目が同様に確からしく、かつ各人に2通りずつ割り当てられているから公平」であることが要点。目の出方に偏りがあれば、この理由は成り立たない。.
111 words, under 1 min