감시 자산 배분 - 한계 탐지확률과 독립 가정
어떤 상황실이 3일 예산(자산별 투입일의 합)으로 특정 표적의 활동 징후를 포착해야 한다. 사용 가능한 감시 자산은 영상(IMINT), 통신(SIGINT), 인적(HUMINT) 세 가지이며, 각 자산에 배정한 일수에 따른 탐지확률은 다음과 같다. 배정하지 않은 자산의 탐지확률은 0이다.
| 투입일 | 영상(IMINT) | 통신(SIGINT) | 인적(HUMINT) |
|---|---|---|---|
| 1일 | 0.25 | 0.30 | 0.20 |
| 2일 | 0.38 | 0.42 | 0.36 |
| 3일 | 0.44 | 0.48 | 0.45 |
자산 간 탐지 사건은 서로 독립이라고 가정하며, 하나라도 탐지하면 임무는 성공으로 간주한다. 상황실장은 “가장 확률이 높은 통신 자산에 3일을 몰아넣는 것이 직관적으로 우월하지 않겠느냐”고 묻고, 참모는 조합을 계산해 보자고 제안한다.
1. 예산 3일일 때 최적 배분을 계산으로 도출하라.
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결합 탐지확률은 1 − ∏(1 − pᵢ)로 계산한다.
- 통신 3일 단독: 0.48
- 1일씩 분산(0.25/0.30/0.20): 1 − (0.75×0.70×0.80) = 1 − 0.42 = 0.58
- 통신 2일 + 영상 1일: 1 − (0.58×0.75) = 1 − 0.435 = 0.565
- 통신 2일 + 인적 1일: 1 − (0.58×0.80) = 0.536
- 영상 2일 + 통신 1일: 1 − (0.62×0.70) = 0.566
- 영상 2일 + 인적 1일: 1 − (0.62×0.80) = 0.504
최적은 세 자산에 1일씩 분산한 0.58이다. 핵심은 한계효율 체감이다. 통신 자산은 1→2일에서 0.12, 2→3일에서 0.06으로 증가분이 급감한다. 반면 새 자산을 0에서 1일로 끌어올리는 한계효과는 0.25~0.30에 달한다. 따라서 확률이 가장 높은 자산에 자원을 몰아넣는 직관은 틀렸다.
2. 예산이 5일로 늘어난다면 배분은 어떻게 바뀌는가?
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주요 조합을 계산하면 다음과 같다.
- 통신 2 / 영상 1 / 인적 2: 1 − (0.58×0.75×0.64) = 1 − 0.2784 = 0.7216 (최적)
- 통신 2 / 영상 2 / 인적 1: 1 − (0.58×0.62×0.80) = 0.7123
- 통신 1 / 영상 2 / 인적 2: 1 − (0.75×0.62×0.64) = 0.7024
- 통신 3 / 영상 1 / 인적 1: 1 − (0.52×0.75×0.80) = 0.6880
- 통신 3 / 영상 2 / 인적 0: 1 − (0.52×0.62) = 0.6776
최적은 통신 2일, 영상 1일, 인적 2일이다. 3일 예산에서는 인적 자산이 1일만 받았지만, 예산이 늘면 인적 자산의 두 번째 날 한계효과(0.20→0.36, +0.16)가 영상의 두 번째 날(+0.13)보다 커지므로 인적에 추가 배정이 이루어진다.
즉 예산 규모가 커질수록 ‘1일씩 분산’이 아니라 한계증가분이 큰 자산에 순차적으로 추가하는 규칙으로 전환된다. 실무적으로는 매 예산 단위마다 한계증가분을 비교하는 탐욕적 배분이 최적해와 일치한다.
3. 이 계산이 현실에서 과대평가일 수 있는 이유를 두 가지 이상 지적하라.
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첫째, 독립 가정의 붕괴다. 세 자산이 같은 표적의 같은 활동을 서로 다른 수단으로 포착하는 경우가 많다. 표적이 회피 기동에 들어가면 영상·통신·인적 채널이 동시에 성능이 떨어진다. 이때 결합확률 1 − ∏(1 − pᵢ)는 상한일 뿐이며, 실제 확률은 훨씬 낮다. 독립 가정은 자산 간 상관계수를 확인한 뒤에만 적용해야 한다.
둘째, 일수 간 독립 가정이다. 같은 자산을 이틀 연속 투입해도 표적이 이미 경계 태세에 들어갔다면 둘째 날의 탐지확률은 표의 값보다 낮다. 표의 수치는 ‘표적이 평시 상태일 때’의 조건부 확률일 수 있다.
셋째, 목표 정의의 문제다. ‘하나라도 탐지하면 성공’으로 정의했지만, 실제 임무는 ‘의사결정에 필요한 시점까지 확증된 정보를 확보’하는 것이다. 미확인 단일 채널 탐지는 확증 요건을 충족하지 못하므로, 확률 최대화가 아니라 교차 확인 가능성을 목적함수로 삼아야 한다. 이 경우 1일씩 분산하는 전략의 가치가 더욱 커진다.