تسييج أرض مثلثة بجوار قناة: هل تصميم المقاول صحيح؟
يريد مزارع تسييج قطعة أرض مثلثة الشكل بجوار قناة مستقيمة. الضلع الملاصق للقناة طوله 30 m ولا يحتاج إلى سياج، والزاوية بين هذا الضلع والضلع المجاور له 60°. لديه 80 m من السياج لاستخدامها في الضلعين الآخرين. اقترح مقاول أن يكون طول الضلع المجاور للقناة 50 m والضلع الثالث 30 m، مؤكداً أن التصميم صحيح. يريد المزارع التأكد قبل شراء المواد. المطلوب: فحص الاقتراح باستخدام قانون جيب التمام، ثم إيجاد الطولين الصحيحين إذا كان مجموع الضلعين المتبقيين 80 m بالضبط، وحساب مساحة الأرض. كما يشترط أن تتجاوز المساحة 550 m². الوقت المتاح للحساب 15 دقيقة، ويجب تدوين الافتراضات بوضوح. السياج يُباع بأطوال صحيحة بالمتر، ولا يريد المزارع هدر مواد، كما طلب المعلم تدوين الوحدات في كل خطوة. ويُفترض أن الأرض مستوية وأن القناة مستقيمة تماماً.
1. اختبر صحة اقتراح المقاول (50 m، 30 m) باستخدام قانون جيب التمام، وبيّن هل يصلح التصميم.
Read the worked answer
نسمّ الضلع الملاصق للقناة AB = 30 m، والضلع المجاور AC = 50 m، والزاوية A = 60°. الضلع الثالث المقترح BC = 30 m. قانون جيب التمام يعطي: BC² = AB² + AC² − 2(AB)(AC)cos A = 30² + 50² − 2(30)(50)(0.5) = 900 + 2500 − 1500 = 1900. إذن BC = √1900 ≈ 43.59 m، وليس 30 m. الاقتراح غير متسق هندسياً: لا يمكن تثبيت ضلعين والزاوية بينهما ثم اختيار الضلع الثالث اعتباطاً. على المزارع ألا يشتري المواد بناءً على هذا الاقتراح.
2. أوجد الطولين الصحيحين للضلعين الآخرين إذا كان مجموعهما 80 m، ثم احسب المساحة.
Read the worked answer
ليكن AC = x، فيكون BC = 80 − x. من قانون جيب التمام: (80 − x)² = 30² + x² − 2(30)(x)(0.5). الطرف الأيسر: 6400 − 160x + x². الطرف الأيمن: 900 + x² − 30x. بمساواة الطرفين وحذف x²: 6400 − 160x = 900 − 30x، ومنه 5500 = 130x، إذن x = 550/13 ≈ 42.31 m، وBC ≈ 37.69 m. المساحة = ½(AB)(AC)sin A = ½(30)(550/13)(√3/2) = (4125√3)/13 ≈ 549.6 m². الناتج قريب من 550 لكنه أقل منها، لذا لا يحقق الشرط حرفياً.
3. هل يحقق التصميم شرط المساحة؟ وإذا لم يحقق، اقترح تعديلاً واحداً مع تبرير.
Read the worked answer
لا يحققه؛ المساحة ≈ 549.6 m²، أي أقل من 550 m² بنحو 0.4 m². إذا زاد المزارع طول السياج إلى 81 m، نحل: (81 − x)² = 900 + x² − 30x، فينتج 6561 − 162x = 900 − 30x، ومنه 5661 = 132x، إذن x ≈ 42.89 m، والمساحة ≈ ½(30)(42.89)(0.866) ≈ 557 m²، وهي تتجاوز الشرط. بديل آخر: الإبقاء على 80 m وتعديل الزاوية أو شرط المساحة، لكن زيادة السياج متراً واحداً تعديل بسيط وقابل للتنفيذ. يجب التنبيه إلى أن التدوير في الحسابات قد يغيّر الحكم عند الحدود، لذا يُفضّل التحقق بالتعويض الدقيق.