Математика: алгебра и начала анализа
Экзамен по математике проверяет вычислительные навыки, умение решать уравнения и неравенства, работать с функциями и производной, а также геометрию и элементы статистики.
Ключевые правила
- Производная: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x; (uv)′ = u′v + uv′; сложная функция: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x).
- Экстремумы: f′(x) = 0 и смена знака производной; знак меняется с «+» на «−» - максимум.
- Интеграл: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C; площадь S = F(b) − F(a).
- Тригонометрия: sin²x + cos²x = 1; sin x = a → x = (−1)ⁿ arcsin a + πn.
- Геометрия: V пирамиды = ⅓·Sосн·h, V шара = (4/3)πR³, Sбок цилиндра = 2πRh.
- Вероятность: P(A) = m/n, где m - благоприятные исходы, n - все равновозможные.
Разобранный пример
Решить: log₂(x − 1) + log₂(x + 3) = 5.
- ОДЗ: x − 1 > 0 и x + 3 > 0, значит x > 1.
- Сумма логарифмов: log₂((x − 1)(x + 3)) = 5.
- По определению логарифма: (x − 1)(x + 3) = 2⁵ = 32, то есть x² + 2x − 35 = 0.
- Корни x₁ = 5 и x₂ = −7; второй не удовлетворяет ОДЗ. Ответ: 5.
Ловушки
- Забыть ОДЗ логарифма или корня и записать оба корня.
- Сократить уравнение на выражение с переменной и потерять корень.
- Считать в градусах, когда аргумент задан в радианах.
- В стереометрии подставить апофему или образующую вместо высоты.
- Потерять внутреннюю производную в сложной функции.