Теплица у школьной стены: проверка проекта и бюджета
Школьный совет планирует разбить на территории школы прямоугольную теплицу. Вдоль одной стороны участка уже стоит кирпичная стена длиной 15 м; её можно использовать как одну из сторон ограды. На сетку-рабицу и столбики выделено 90 000 тенге, а погонный метр ограждения вместе с установкой стоит 2 500 тенге. Восьмиклассники предложили план 10 м на 20 м: они посчитали 40 м сетки и площадь 200 м² и утверждают, что это самый выгодный вариант. Учитель напомнил, что длина стены ограничена 15 м, а ворота шириной 1 м нужно вырезать из общей длины ограждения. По санитарным требованиям площадь теплицы должна быть не меньше 150 м². Нужно проверить расчёт школьников, учесть ограничения и предложить осуществимый вариант, который помещается в бюджет.
1. Проверьте утверждение школьников: действительно ли при 40 м ограждения план 10 × 20 м даёт наибольшую площадь? Учтите стену длиной 15 м.
Read the worked answer
Пусть x - ширина теплицы (перпендикулярно стене), L - длина вдоль стены. Тогда ограда даёт 2x + L = 40, а площадь S = xL = x(40 − 2x). Это парабола ветвями вниз, её вершина при x = 10, тогда L = 20 и S = 200 м². Арифметика школьников верна для абстрактной задачи, но решение не учитывает стену: L = 20 м больше 15 м, значит такой план физически не помещается. При ограничении L ≤ 15 получаем x = (40 − L)/2 ≥ 12,5. На промежутке x ≥ 12,5 функция S = 40x − 2x² убывает, поэтому максимум достигается на границе: x = 12,5, L = 15, S = 187,5 м². Вывод: 200 м² недостижимы, реальный максимум при 40 м ограждения - 187,5 м².
2. Какой вариант помещается в бюджет 90 000 тенге и одновременно выполняет санитарную норму не менее 150 м²? Покажите расчёт.
Read the worked answer
Бюджет позволяет 90 000 / 2 500 = 36 м ограждения. Ворота шириной 1 м входят в эту длину, поэтому на сетку остаётся 35 м: 2x + L = 35. Если использовать всю стену, L = 15, то 2x = 20, x = 10, площадь S = 150 м² - ровно минимально допустимая. Если уменьшить L до 14 м, то x = 10,5 и S = 147 м², что уже ниже нормы. Значит осуществимый вариант: 15 м вдоль стены и 10 м в ширину. Стоимость: 36 × 2 500 = 90 000 тенге, бюджет не превышен, норма 150 ≥ 150 выполнена. Это показывает, почему нельзя механически переносить «оптимальную» формулу без учёта бюджета и длины стены.
3. На сколько процентов осуществимая максимальная площадь при бюджете меньше площади из проекта школьников? Сформулируйте вывод так, чтобы проценты не вводили в заблуждение.
Read the worked answer
Осуществимая площадь равна 150 м², проект школьников - 200 м². Разница 50 м². Если считать от заявленных 200 м², получаем 50/200 = 0,25, то есть на 25% меньше. Если же считать от 150 м², то 200 больше на 33%, поэтому формулировка должна указывать базу сравнения. Корректно сказать: «При том же бюджете реальная площадь на 25% меньше заявленной, потому что 40 м ограждения не помещаются в 90 000 тенге и проект не учитывает длину стены». Нельзя писать просто «площадь меньше на 25%» без указания, от чего считается процент.