Mathématiques - Optimisation d'une découpe de boîtes en carton
Une petite entreprise de conditionnement reçoit une commande de boîtes ouvertes en carton. Chaque boîte est fabriquée à partir d'une plaque rectangulaire de 60 cm sur 40 cm : on découpe un carré de côté x aux quatre coins, puis on plie les bords restants. Le cahier des charges impose x ≥ 3 cm pour que les rabats soient assez rigides, et la hauteur finale doit rester inférieure à 15 cm. La commande exige un volume utile d'au moins 8000 cm³. Le responsable de production hésite entre régler la découpe à x = 7,85 cm, valeur proposée par un stagiaire, ou à x = 10 cm, plus simple à mesurer. La découpe est réalisée avec une tolérance de ±0,5 cm. Le carton coûte 0,018 MAD par cm² et les chutes carrées sont revendues à 0,004 MAD par cm². Le stagiaire justifie son choix par un calcul de dérivée, mais n'a pas vérifié l'effet de la tolérance sur le volume obtenu.
1. Établir l'expression du volume V(x), préciser l'intervalle d'étude compte tenu des contraintes, puis déterminer la valeur de x qui maximise V. Le réglage x = 7,85 cm est-il optimal ?
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La base a pour dimensions (60 − 2x) et (40 − 2x), la hauteur vaut x, donc :
V(x) = x(60 − 2x)(40 − 2x) = 4x³ − 200x² + 2400x.
Contraintes : x ≥ 3 ; hauteur < 15 ; les dimensions de base doivent rester positives, donc x < 20. L'intervalle utile est [3 ; 15].
V'(x) = 12x² − 400x + 2400 = 4(3x² − 100x + 600).
Les racines sont (100 ± √2800)/6, soit environ 7,847 et 25,47. Une seule est dans [3 ; 15] : x ≈ 7,85. Comme V''(7,85) = 24×7,85 − 400 ≈ −211,6 < 0, il s'agit d'un maximum. V(7,85) ≈ 8450 cm³. Aux bornes : V(3) = 5508 cm³ et V(15) = 4500 cm³. Le réglage 7,85 cm est donc bien quasi optimal.
2. La commande exige au moins 8000 cm³. Avec la tolérance de ±0,5 cm, le réglage x = 7,85 cm garantit-il le volume minimal ? Et le réglage x = 10 cm ?
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Pour x = 7,85 cm, le volume vaut environ 8450 cm³. La fonction est peu sensible près de son maximum : à x = 7,35 cm, V ≈ 7,35×45,3×25,3 ≈ 8424 cm³ ; à x = 8,35 cm, V ≈ 8,35×43,3×23,3 ≈ 8424 cm³. Le volume reste donc supérieur à 8000 cm³ sur toute la plage de tolérance.
Pour x = 10 cm, V = 10×40×20 = 8000 cm³ exactement. Mais avec la tolérance : à x = 10,5 cm, V = 10,5×39×19 ≈ 7780 cm³, inférieur à 8000. Le réglage x = 10 cm ne garantit donc pas la conformité. Conclusion : choisir un réglage centré autour de 7,85 cm, ou éventuellement 7,5 cm, pour garder une marge de volume.
3. Comparer le coût matière net des deux réglages (7,85 cm et 10 cm) pour une boîte, en tenant compte de la revente des chutes. Quel réglage recommander au final ?
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La plaque coûte toujours 60×40×0,018 = 43,20 MAD. Seule la revente des chutes varie : surface découpée = 4x², recette = 4x²×0,004.
Pour x = 7,85 : 4×7,85² ≈ 246,5 cm², recette ≈ 0,986 MAD, coût net ≈ 42,21 MAD. Pour x = 10 : 4×10² = 400 cm², recette = 1,600 MAD, coût net ≈ 41,60 MAD.
L'écart est d'environ 0,61 MAD par boîte en faveur de x = 10 cm. Mais x = 10 cm ne garantit pas 8000 cm³ avec la tolérance, alors que x = 7,85 cm le garantit avec une marge d'environ 400 cm³. Le coût d'un rebut ou d'une reprise est sans commune mesure avec 0,61 MAD. Recommandation : conserver x ≈ 7,85 cm, avec un contrôle de la découpe, plutôt que de gagner quelques centimes au risque de produire des boîtes non conformes.