Dimensionnement d'un réservoir cylindrique : l'optimum mathématique est-il réalisable ?
Une coopérative de la région de Settat fait fabriquer un réservoir cylindrique fermé - fond, couvercle et paroi latérale - d'un volume intérieur utile de 1 000 L, soit exactement 1 m³. Le soudeur facture la tôle au mètre carré : 180 dirhams pour la paroi latérale, mais 240 dirhams pour le fond et le couvercle, qui exigent un renfort et une découpe circulaire. Le rayon r et la hauteur h sont exprimés en mètres. Une contrainte d'atelier impose que la hauteur ne dépasse pas 1,20 m, faute de quoi le réservoir ne passe pas sous le portail de livraison ; le plan limite par ailleurs le rayon à 0,80 m pour rester dans l'emprise du support. Le technicien propose r = 0,40 m, valeur minimale du plan, en affirmant que « moins de surface, donc moins de tôle, donc moins cher ». Le gérant, lui, exige un devis calculé avant de signer. On néglige l'épaisseur de la tôle, les pertes de découpe et la main-d'œuvre.
1. Établir l'expression du coût total C(r) en dirhams, déterminer le domaine d'étude réellement admissible, et statuer sur la proposition du technicien.
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Modélisation. Le volume fixé impose πr²h = 1, donc h = 1/(πr²). La surface latérale vaut 2πrh = 2/r ; la surface des deux disques vaut 2πr². D'où C(r) = 180 × (2/r) + 240 × (2πr²) = 360/r + 480πr², pour r en mètres.
Contraintes. La hauteur maximale se traduit par 1/(πr²) ≤ 1,20, soit r² ≥ 1/(1,2π) = 0,2653, donc r ≥ 0,515 m. Le plan impose aussi r ≤ 0,80 m. Le domaine admissible est donc D = [0,515 ; 0,80].
Verdict sur la proposition. r = 0,40 m est hors domaine : il donnerait h = 1/(π × 0,16) = 1,99 m, soit près de 80 cm au-dessus de la limite. Discuter son coût est donc sans objet, la solution n'existe pas matériellement. Le raisonnement « moins de surface » est faux de toute façon : quand r tend vers 0, le terme 360/r explose et le coût diverge.
2. Déterminer la valeur de r qui minimise le coût sur le domaine admissible, calculer le coût correspondant et vérifier qu'il s'agit bien d'un minimum global.
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Dérivée. C'(r) = −360/r² + 960πr. Elle s'annule pour r³ = 360/(960π) = 0,11937, soit r* = 0,4925 m (h = 1,313 m).
Confrontation au domaine. r* = 0,4925 m < 0,515 m : l'optimum libre est interdit par la contrainte de hauteur. Comme C'(r) > 0 pour tout r > 0,4925, la fonction est strictement croissante sur D ; le minimum est donc atteint à la borne r = 0,515 m, avec h = 1,20 m exactement (la contrainte est saturée).
Calcul. C(0,515) = 360/0,515 + 480π(0,515)² = 699 + 400 ≈ 1 099 DH. Contrôle à l'autre borne : C(0,80) = 450 + 965 = 1 415 DH, nettement plus cher. Le minimum global sur D est bien 1 099 DH, pour un réservoir de rayon ≈ 0,52 m et de hauteur 1,20 m.
Remarque de sécurité. Ce chiffre est un coût théorique de tôle : un devis réel doit majorer de 5 à 10 % pour les chutes de découpe et la chute de rive.
3. Le gérant demande pourquoi la contrainte de hauteur, si gênante, ne coûte presque rien. Expliquer, puis indiquer ce qu'il faudrait négocier en priorité.
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Pourquoi le surcoût est négligeable. À l'optimum libre, C'(r*) = 0 : la fonction est stationnaire, donc plate au premier ordre. Passer de r = 0,4925 à r = 0,515 ne change le coût que de 1 099 − 1 097 ≈ 2 DH, soit 0,2 %. Autrement dit, la contrainte de hauteur n'est pas coûteuse en tôle : elle déplace le point de fonctionnement le long d'une zone où le coût est quasi constant, parce que le gain sur la surface latérale compense presque exactement la perte sur les disques.
Ce qu'il faut négocier. Le vrai levier n'est pas la géométrie mais le prix : les disques coûtent 240 DH/m² contre 180 DH/m² pour le fût, et ils représentent 400 DH sur 1 099, soit 36 % de la facture. Obtenir le même tarif que le fût ferait tomber le coût à 699 + 300 = 999 DH. Ensuite seulement, discuter la marge de chute de tôle.
Argument à écarter. Augmenter le rayon au-delà de 0,52 m ne fait qu'ajouter de la surface de disque : c'est un surcoût certain, pas une économie d'échelle.