Concours National ENSA flashcards

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Théorème des accroissements finis

Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c dans ]a,b[ tel que f(b) − f(a) = (b − a)·f′(c).

Règle de d'Alembert

Pour une série à termes positifs, si le rapport u(n+1)/u(n) tend vers L, la série converge absolument si L < 1, diverge si L > 1, et le cas L = 1 reste indéterminé.

Développement limité de ln(1+x)

Au voisinage de zéro : ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 + o(x³). Valable pour x > −1 ; sert au calcul de limites et à la recherche d'équivalents.

Équation y″ + ω²y = 0

Ses solutions sont y(t) = A·cos(ωt) + B·sin(ωt), où A et B sont fixées par les conditions initiales ; elle décrit un oscillateur harmonique non amorti de pulsation ω.

Déterminant et inversibilité

Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det(A) ≠ 0. On utilise aussi det(A·B) = det(A)·det(B) et det(A⁻¹) = 1/det(A).

Intégrale de Riemann en +∞

L'intégrale de 1 à +∞ de dx/x^α converge si et seulement si α > 1. Au voisinage de zéro, la même intégrale converge si et seulement si α < 1.

Formules d'Euler

cos x = (e^(ix) + e^(−ix))/2 et sin x = (e^(ix) − e^(−ix))/(2i). Elles permettent de linéariser les puissances de sinus et de cosinus.

Variance d'une variable aléatoire

Var(X) = E(X²) − [E(X)]². Pour tous réels a et b, Var(a·X + b) = a²·Var(X) ; l'écart-type est la racine carrée de la variance.

Loi binomiale B(n,p)

P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) pour k entier de 0 à n. Son espérance vaut n·p et sa variance n·p·(1−p) ; elle modélise n épreuves de Bernoulli indépendantes.

Formule de Taylor-Young

Si f est n fois dérivable en a, alors f(a+h) = Σ de k=0 à n de f^(k)(a)·h^k/k! + o(h^n). C'est la base du calcul des développements limités.

Première loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, un point matériel isolé ou pseudo-isolé conserve son vecteur vitesse : il demeure au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.

Théorème de l'énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un point matériel entre deux instants égale la somme des travaux de toutes les forces appliquées.

Portée d'un projectile

Pour un tir de vitesse initiale v₀ faisant l'angle α avec l'horizontale, sans frottement : R = v₀²·sin(2α)/g. Elle est maximale pour α = 45°.

Constante de temps d'un circuit RC

τ = R·C, en secondes si R est en ohms et C en farads. La tension de charge vaut u(t) = E·(1 − e^(−t/τ)) ; à t = τ, elle atteint 63 % de sa valeur finale.

Force de Lorentz

F = q·(E + v ∧ B). La composante magnétique est perpendiculaire à la vitesse : elle ne travaille pas et ne modifie donc pas l'énergie cinétique de la particule chargée.

Loi de Faraday

La force électromotrice induite dans un circuit vaut e = −dΦ/dt, où Φ est le flux magnétique à travers ce circuit ; le signe traduit la loi de Lenz.

Premier principe de la thermodynamique

Pour un système fermé au repos macroscopique : ΔU = W + Q, avec W = −∫P·dV pour un travail mécanique réversible et Q le transfert thermique reçu.

Relation de conjugaison d'une lentille

Pour une lentille mince de distance focale f′ : 1/OA′ − 1/OA = 1/f′. Le grandissement vaut γ = OA′/OA, les mesures étant algébriques sur l'axe optique orienté.

Interférences à deux ondes

Deux ondes de même fréquence se superposent : l'intensité lumineuse est maximale quand la différence de marche δ = k·λ et minimale quand δ = (k + ½)·λ.

Règle de Klechkowski

Les orbitales atomiques se remplissent par énergie croissante selon l'ordre 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p ; la règle de Hund impose des spins parallèles dans une sous-couche.

pH d'un acide fort

Pour un acide fort de concentration C en mol/L, totalement dissocié et sans autre source d'ions H₃O⁺ : pH = −log C, à condition que C reste très supérieure à 10⁻⁷ mol/L.

Relation d'Henderson-Hasselbalch

Pour un couple acide/base faible : pH = pKa + log([base]/[acide]). Elle décrit le pouvoir tampon d'une solution et permet de prévoir l'état de protonation de l'espèce.

Équivalence d'un titrage acide-base

Point où les quantités de matière d'acide et de base introduites respectent la stœchiométrie de la réaction. Pour un monoacide et une monobase : Ca·Va = Cb·Vb.

Loi de Hess

L'enthalpie de réaction ne dépend que des états initial et final : on peut additionner les enthalpies de réactions intermédiaires, et ΔH°r = Σν·ΔH°f(produits) − Σν·ΔH°f(réactifs).

Demi-vie d'ordre un

Pour une cinétique d'ordre un, v = k·[A] et t₁/₂ = ln 2/k. La demi-vie est alors indépendante de la concentration initiale, propriété caractéristique de cet ordre.

Quotient de réaction Qr

Qr est le rapport des activités des produits sur celles des réactifs, chacune élevée à son coefficient stœchiométrique. Sa comparaison avec K indique le sens d'évolution du système.

Potentiel d'une pile

Force électromotrice à l'équilibre : E = E°(cathode) − E°(anode), l'oxydation ayant lieu à l'anode et la réduction à la cathode. E est positif pour une pile qui débite.

Participe passé avec avoir

Employé avec l'auxiliaire avoir, le participe passé ne s'accorde jamais avec le sujet ; il s'accorde en genre et en nombre avec le complément d'objet direct placé avant lui.

Connecteur logique « or »

« Or » introduit un fait nouveau qui contredit ou infléchit ce qui précède. Il ne marque pas la conséquence, contrairement à « donc » ou « par conséquent ».

Emploi du subjonctif

Le subjonctif s'impose après « bien que », « quoique », « pour que », « avant que » et « il faut que ». Après « pendant que » ou « parce que », l'indicatif reste la règle.

Symboles et unités au pluriel

Les noms d'unités s'accordent en nombre (« des volts », « des newtons ») mais les symboles restent invariables : on écrit 3 V, 5 N, 10 mol, sans marque du pluriel.

Préfixes scientifiques grecs

« hydro- » désigne l'eau, « thermo- » la chaleur, « bio- » le vivant, « -métrie » la mesure et « -logie » l'étude. Les repérer aide à décoder un terme technique inconnu.