Concours National ENSA cheat sheet

Théorème des accroissements finis : si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c ∈ ]a,b[ tel que f(b) − f(a) = (b − a)·f′(c).

Développements limités en 0 : e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³) ; ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 + o(x³) ; (1+x)^α = 1 + αx + α(α−1)x²/2 + o(x²).

Séries : règle de d'Alembert avec L = lim u(n+1)/u(n), convergence absolue si L < 1, divergence si L > 1 ; l'intégrale ∫₁^∞ dx/x^α converge si et seulement si α > 1.

Équation y″ + a·y′ + b·y = 0 : équation caractéristique r² + a·r + b = 0 ; si Δ = a² − 4b < 0, y = e^(−ax/2)·(A·cos ωx + B·sin ωx) avec ω = √(4b − a²)/2.

Matrices : det(A·B) = det(A)·det(B) ; A inversible ⇔ det(A) ≠ 0 ; det(A⁻¹) = 1/det(A) ; le rang d'une matrice est le nombre de colonnes indépendantes.

Probabilités : Var(a·X + b) = a²·Var(X) ; loi binomiale B(n,p) : E(X) = n·p et Var(X) = n·p·(1−p).

Trigonométrie : cos p + cos q = 2·cos((p+q)/2)·cos((p−q)/2) ; sin p + sin q = 2·sin((p+q)/2)·cos((p−q)/2) ; e^(ix) = cos x + i·sin x.

Intégration par parties : ∫ₐᵇ u′·v = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u·v′ ; pour une racine √(a² − x²), poser x = a·sin t ; pour √(x² + a²), poser x = a·tan t.

Référentiel galiléen : la deuxième loi de Newton F = m·a y est valable ; dans un référentiel non galiléen en translation accélérée, ajouter la force d'inertie −m·a.

Énergie mécanique Em = Ec + Ep ; elle se conserve si seules des forces conservatives travaillent ; le travail des frottements dissipe de l'énergie en chaleur.

Projectile sans frottement : x = v₀·cos α·t et y = −½·g·t² + v₀·sin α·t ; portée R = v₀²·sin(2α)/g, maximale pour α = 45°.

Circuits : τ(RC) = R·C, charge u(C) = E·(1 − e^(−t/τ)), décharge u(C) = E·e^(−t/τ) ; τ(RL) = L/R et i = (E/R)·(1 − e^(−t/τ)).

Magnétisme : force de Lorentz F = q·v ∧ B, rayon de la trajectoire circulaire r = m·v/(|q|·B) ; force de Laplace F = I·L ∧ B.

Induction : e = −dΦ/dt avec Φ = B·S·cos θ ; la loi de Lenz impose que le courant induit s'oppose à la variation de flux qui l'a créé.

Thermodynamique : ΔU = W + Q ; pour un travail mécanique W = −∫P·dV ; gaz parfait P·V = n·R·T et ΔU = n·Cv·ΔT.

Optique : relation de conjugaison 1/OA′ − 1/OA = 1/f′ et grandissement γ = A′B′/AB = OA′/OA ; diffraction par une fente de largeur a : a·sin θ = λ.

Ordre de remplissage 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p ; règle de Hund : les électrons occupent séparément les orbitales de même énergie avant de s'apparier.

pH = −log[H₃O⁺] ; à 25 °C, acide fort pH = −log C, base forte pH = 14 + log C ; l'eau pure est neutre à pH = 7.

Couple acide/base faible : Ka = [H₃O⁺]·[base]/[acide] et pH = pKa + log([base]/[acide]) ; le pouvoir tampon est maximal au voisinage de pH = pKa.

Titrage : à l'équivalence, la stœchiométrie est respectée, soit Ca·Va = Cb·Vb pour un monoacide et une monobase ; le saut de pH est repéré par pH-mètre ou indicateur coloré.

Thermochimie : ΔH°r = Σν·ΔH°f(produits) − Σν·ΔH°f(réactifs) ; l'enthalpie de formation d'un corps simple dans son état standard est nulle (loi de Hess).

Cinétique : v = −d[A]/dt = k·[A]^n ; ordre 1 ⇒ ln[A] affine en temps et t₁/₂ = ln 2/k ; loi d'Arrhenius k = A·e^(−Ea/RT).

Équilibre : comparer Qr à K ; si Qr < K, évolution dans le sens direct ; la constante K ne dépend que de la température.

Oxydoréduction : oxydation = perte d'électrons à l'anode, réduction = gain d'électrons à la cathode ; E°(pile) = E°(cathode) − E°(anode).

Participe passé avec avoir : aucun accord avec le sujet ; accord avec le COD uniquement s'il est placé avant le verbe (« les mesures qu'il a faites »).

Subjonctif après « bien que », « quoique », « pour que », « avant que », « il faut que » ; indicatif après « parce que », « pendant que », « après que ».

Connecteurs : « or » introduit un fait qui contredit ou nuance, « donc » marque la conséquence, « en revanche » oppose, « par conséquent » conclut.

Unités : les noms s'accordent (« des ohms », « des moles ») mais les symboles restent invariables (« 5 Ω », « 3 mol »), séparés du nombre par une espace.

Genres usuels à connaître : « une espèce chimique », « un ion », « une molécule », « un atome », « le sodium », « la silice » - l'usage prime sur la terminaison.

Préfixes gréco-latins : hydro- (eau), thermo- (chaleur), ciné- (mouvement), iso- (égal), poly- (plusieurs), -métrie (mesure), -logie (étude).

Rédaction scientifique : définir chaque symbole avant son premier emploi, annoncer l'unité du résultat, et conclure en reprenant la problématique puis en énonçant la réponse chiffrée.