La dent de scie de l'oscilloscope : condensateur défaillant ou régime périodique établi ?
Au laboratoire, un étudiant teste un condensateur marqué 4,7 µF (± 5 %) en série avec une résistance de 10 kΩ (± 1 %). Le générateur délivre 6,0 V continu et sa résistance interne est de 50 Ω. Pour observer la charge sans perturber le montage, il branche un oscilloscope numérique d'impédance d'entrée 1 MΩ en parallèle sur le condensateur. Faute d'alimentation à mémoire, il attaque le dipôle par un signal carré 0/6 V à 50 Hz, soit une demi-période de 10 ms. Sur l'écran réglé à 2 V/division, la trace relevée aux bornes du condensateur n'est pas une exponentielle complète mais une petite dent de scie, comprise entre 2,7 V et 3,3 V, centrée sur 3 V. L'étudiant conclut : « le composant est mort, la tension ne monte même pas à 4 V ; et puis RC = 47 ms alors que la montée dure 10 ms, c'est incohérent ». Le professeur lui demande de vérifier son raisonnement avant de dessouder quoi que ce soit.
1. Montrer par le calcul que les niveaux 2,7 V et 3,3 V sont exactement ceux que prédit un condensateur conforme, et identifier l'erreur de raisonnement de l'étudiant.
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Constante de temps réelle. R_tot = 10 000 + 50 = 10 050 Ω ; l'oscilloscope en parallèle sur C se traduit par R_équivalente = (10 050 × 1 000 000)/(1 010 050) ≈ 9 950 Ω, soit moins de 1 % d'écart. τ = R·C ≈ 9 950 × 4,7·10⁻⁶ = 46,8 ms, arrondi à 47 ms.
Régime périodique. En régime établi, la charge part non pas de 0 mais de V₁, et la décharge de V₂ vers 0. Avec a = e^(−10/47) = e^(−0,2128) = 0,8083 : V₂ = 6 − a(6 − V₁) et V₁ = a·V₂. En substituant, V₂ = 6/(1 + a) = 6/1,8083 = 3,318 V et V₁ = 2,682 V.
Conclusion. Le calcul redonne 2,68 V et 3,32 V : la trace expérimentale valide le modèle. L'erreur de l'étudiant est d'appliquer la formule de charge depuis zéro (v = 6(1 − e^(−t/τ))) à un régime établi où le condensateur ne se vide jamais complètement. Comparer 10 ms à 5τ = 235 ms n'a aucun sens ici : c'est précisément parce que la demi-période est courte que l'oscillation se réduit à un petit segment autour de 3 V.
2. L'étudiant veut malgré tout mesurer τ. Proposer un protocole corrigé et justifier chaque choix par un ordre de grandeur.
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Principe. Il faut observer une charge quasi complète, c'est-à-dire disposer d'une durée d'au moins 5τ ≈ 235 ms, tout en évitant le régime périodique.
Protocole. 1) Remplacer le signal carré 50 Hz par un signal carré à 1 Hz (demi-période 500 ms ≈ 10τ) : le condensateur repart alors de pratiquement 0 V et atteint 99,9 % de sa charge, la courbe redevient une exponentielle lisible sur tout son cours. 2) Mieux encore, utiliser un générateur à impulsion unique et un oscilloscope à mémoire en mode monocoup, ce qui supprime toute ambiguïté sur l'état initial. 3) Augmenter éventuellement R à 100 kΩ pour allonger τ et faciliter la lecture, puis vérifier que la constante mesurée varie bien proportionnellement à R.
Vérifications instrumentales. L'oscilloscope (1 MΩ) reste négligeable devant 10 kΩ mais ne le serait plus devant 100 kΩ : il faut alors corriger avec R_équivalente = R ∥ 1 MΩ. La résistance interne de 50 Ω est toujours négligeable. Enfin, contrôler la tolérance : ± 5 % sur C autorise une constante de 44,6 à 49,3 ms, ce qui doit être la barre de comparaison.
3. On extrait τ du petit segment observé : τ = −T½/ln(1 − f) avec f = (V₂ − V₁)/(6 − V₁). Estimer τ et sa précision sachant que la lecture sur l'écran (2 V/division) est entachée d'environ 0,1 V. Conclure sur la valeur de cette méthode.
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Calcul de τ. ΔV = 3,3 − 2,7 = 0,6 V, disponible jusqu'à la tension finale : 6 − 2,7 = 3,3 V. Donc f = 0,6/3,3 = 0,182. Alors 1 − f = 0,818, ln(1 − f) = −0,2009 et τ = 10/0,2009 ≈ 49,8 ms - l'ordre de grandeur de 47 ms est retrouvé.
Propagation. Avec δV = 0,1 V sur chaque niveau, δ(ΔV) ≈ 0,14 V et δf ≈ 0,14/3,3 = 0,042. Comme τ = −T½/ln(1 − f), on a δτ/τ ≈ δf /[(1 − f)·|ln(1 − f)|] = 0,042/(0,818 × 0,201) = 0,042/0,164 ≈ 26 %. Soit δτ ≈ ±13 ms, c'est-à-dire un intervalle de 37 à 63 ms.
Conclusion. La méthode confirme que le condensateur est dans sa tolérance, mais elle ne permet pas de mesurer τ : l'intervalle est trop large pour distinguer 47 ms de 40 ms. La cause est la faible amplitude exploitée (0,6 V sur une échelle de 6 V) : toute méthode d'extraction doit maximiser la portion de courbe utilisée, faute de quoi l'incertitude de lecture est amplifiée par le logarithme.