Plan de contrôle d'un lot de 40 batteries : hypergéométrique ou binomiale ?
Une unité de montage de lampes solaires reçoit un carton de 40 batteries lithium. Le fournisseur annonce un taux de 10 % de cellules défectueuses, soit 4 batteries sur 40, réparties au hasard. Avant expédition, l'atelier prélève 5 batteries au hasard, sans remise, et accepte le carton si aucune des 5 n'est défectueuse ; sinon il renvoie le lot. Le contremaître affirme : « avec 10 % de défauts, on a une chance sur deux de tomber sur un défaut en prélevant 5 pièces ; on va donc refuser un lot sur deux, c'est intenable ». La responsable qualité, elle, applique une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,1 et trouve 59 % d'acceptation. Le directeur veut savoir si le plan protège réellement le client et ce qu'il faudrait changer pour que la probabilité d'accepter un lot à 10 % de défauts descende sous 5 %.
1. Calculer la probabilité exacte d'acceptation, la comparer à la valeur binomiale, et arbitrer entre les deux protagonistes.
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Modèle exact. Le prélèvement est sans remise dans un lot fini : la loi du nombre de pièces défectueuses est hypergéométrique. P(acceptation) = C(4,0)·C(36,5)/C(40,5) = 376 992/658 008 = 0,5729, soit 57,3 %.
Comparaison. La binomiale donne 0,9⁵ = 0,5905, soit 59,0 %. L'écart est de 1,8 point (3 % en relatif). La règle usuelle n/N ≤ 0,1 n'est pas respectée (5/40 = 0,125), donc l'approximation n'est pas garantie : elle est ici optimiste, c'est-à-dire qu'elle sous-estime le risque de laisser passer un mauvais lot.
Arbitrage. La responsable a raison sur le chiffre, mais avec un modèle approximatif ; le contremaître a tort sur le raisonnement : P(au moins une défectueuse) = 1 − 0,5729 = 0,427, et non une chance sur deux. Surtout, refuser 43 % des lots est précisément le comportement du plan : le problème n'est pas la sévérité, c'est que le plan accepte 57 % des lots à 10 % de défauts. Le plan est trop indulgent, pas trop strict.
2. Déterminer la taille minimale n de l'échantillon (toujours avec le critère zéro défaut) pour que la probabilité d'accepter un lot à 10 % de défauts tombe sous 5 %, dans les deux modèles, et commenter l'écart.
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Modèle binomial. Il faut 0,9ⁿ ≤ 0,05, soit n ≥ ln(0,05)/ln(0,9) = 2,996/0,10536 = 28,4, donc n = 29.
Modèle hypergéométrique exact. P(n) = Π(j de 40−n+1 à 40) (j−4)/j. En calculant : n = 20 donne 5,4 % ; n = 21 donne 4,3 % ; n = 22 donne 3,4 %. Le seuil de 5 % est franchi dès n = 21.
Commentaire. L'écart est considérable : 21 pièces au lieu de 29. La binomiale suppose des tirages indépendants avec p constant, ce qui est faux quand on prélève plus de la moitié du lot : épuiser le lot fait mécaniquement apparaître les 4 défectueuses, donc la protection croît plus vite que ne le dit la binomiale. Ici la binomiale est non conservative : elle conduit à surdimensionner l'échantillon et donc le coût du contrôle. Conclusion pratique : sur un lot de 40, le calcul exact est faisable à la main ou au tableur, il ne faut pas se priver de l'hypergéométrique.
3. Le directeur demande enfin si un plan à zéro défaut sur 21 pièces est un bon compromis. Formuler une réponse argumentée en discutant les hypothèses du modèle et les risques des deux parties.
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Ce que le plan garantit. Avec n = 21 et c = 0, un lot à 10 % de défectueuses n'est accepté qu'avec 4,3 % de chances : le risque du client (accepter un mauvais lot) est maîtrisé. En contrepartie, un lot irréprochable est toujours accepté, mais un lot à 2 % de défauts (0 ou 1 pièce défectueuse sur 40) passe encore très souvent, et un lot à 5 % est accepté avec environ 30 % de chances. Le plan est donc un filtre contre les lots très dégradés, pas un contrôle de conformité fine.
Hypothèses fragiles. Le taux de 10 % est une hypothèse sur le lot, pas une probabilité : si les 4 défauts proviennent d'une même série de fabrication, ils sont agrégés dans le carton et l'hypergéométrique (qui suppose un mélange parfait) sous-estime le risque de trouver plusieurs défauts d'un coup. De même, un taux annoncé par le fournisseur n'est pas vérifié.
Recommandation. Passer à un plan à deux niveaux : n = 21, c = 0 pour la réception, plus un contrôle renforcé (n = 40, c = 1) en cas de refus, et exiger du fournisseur un historique de capabilité plutôt qu'un pourcentage déclaré.