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On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, soit 1 + i : le quotient devient (1 + i)²/(1 − i²) = 2i/2 = i. Sa partie réelle est donc nulle et sa partie imaginaire vaut 1, ce qui correspond au nombre i.
On applique la formule de dérivation d'un logarithme composé : (ln u)′ = u′/u avec u = x² + 1, donc u′ = 2x. On obtient ainsi f′(x) = 2x/(x² + 1), définie sur ℝ tout entier puisque x² + 1 ne s'annule jamais.
L'algorithme d'Euclide donne successivement 1260 = 2×462 + 336, 462 = 1×336 + 126, 336 = 2×126 + 84, 126 = 1×84 + 42 et 84 = 2×42. Le dernier reste non nul est donc 42, qui est bien le pgcd des deux entiers.
Une intégration par parties avec u = x et v′ = e^(−x) fournit la primitive −(x + 1)e^(−x). En évaluant entre 0 et 1, on obtient (−2/e) − (−1) = 1 − 2/e, soit environ 0,264.
Il y a C(5,2) = 10 tirages équiprobables. Les tirages favorables sont deux blanches, soit C(3,2) = 3, ou deux noires, soit C(2,2) = 1. La probabilité cherchée vaut donc (3 + 1)/10 = 0,4.
On remarque que P(1) = 0 et que P′(X) = 3X² − 3 s'annule aussi en 1 : 1 est donc racine double. La somme des trois racines étant nulle (coefficient de X² égal à 0), la troisième racine vaut −2, d'où P(X) = (X − 1)²(X + 2).
Le point fixe L vérifie L = (1/2)L + 3, d'où L = 6. Comme uₙ₊₁ − 6 = (1/2)(uₙ − 6), on a uₙ − 6 = (1/2)ⁿ(−5) : la suite converge donc effectivement vers 6.
On remarque que A = I + N avec N = [[0, 1], [0, 0]] et N² = 0. La formule du binôme se réduit alors à Aⁿ = I + nN, c'est-à-dire [[1, n], [0, 1]], ce que confirme un calcul direct de A² = [[1, 2], [0, 1]].
Le développement limité sin x = x − x³/6 + o(x³) donne sin x − x = −x³/6 + o(x³). En divisant par x³, le quotient tend donc vers −1/6, ce qui est cohérent avec la négativité de sin x − x pour x positif assez petit.
La distance est donnée par ‖OA ∧ u‖/‖u‖. Le produit vectoriel de OA(1, 1, 1) et de u(1, 2, 2) vaut (0, −1, 1), de norme √2, tandis que ‖u‖ = 3. La distance cherchée est donc √2/3.
On décompose 360 en facteurs premiers : 360 = 2³ × 3² × 5. Le nombre de diviseurs positifs vaut alors (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24.
On utilise la compatibilité du module avec la division. Comme |3+4i| = 5 et |1−2i| = √5, on obtient |z| = 5/√5 = √5.
Pour une suite arithmétique, la somme de n termes vaut n(u₀+uₙ₋₁)/2. Ici u₉ = 2 + 9×3 = 29, donc S₁₀ = 10×(2+29)/2 = 155.
Le déterminant de B vaut 2×3 − 1×1 = 5. Pour une matrice [[a,b],[c,d]], l'inverse est (1/det)[[d,−b],[−c,a]], ce qui donne (1/5)[[3,−1],[−1,2]].
On multiplie par l'expression conjuguée : √(x²+x+1) − x = (x+1)/(√(x²+x+1)+x). En divisant numérateur et dénominateur par x, on obtient une limite égale à 1/2.
On reconnaît la dérivée de (ln x)²/2, car la dérivée de ln x est 1/x. Ainsi l'intégrale vaut [(ln x)²/2] de 1 à e, soit (1²−0²)/2 = 1/2.
Il y a 36 issues équiprobables. Les couples favorables sont (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) et (6,2), soit 5 issues. La probabilité vaut donc 5/36.
La distance d'un point A(x₀,y₀,z₀) au plan ax+by+cz+d=0 vaut |ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²). Ici le numérateur vaut |1+4+4−3| = 6 et le dénominateur vaut √(1+4+4) = 3, donc la distance est 2.
On écrit −8i = 8e^{−iπ/2}. Les racines cubiques ont pour module 2 et pour arguments (−π/2 + 2kπ)/3 avec k = 0,1,2. On obtient 2e^{−iπ/6} = √3−i, 2e^{iπ/2} = 2i et 2e^{i7π/6} = −√3−i.
Modulo 7, les puissances de 3 sont périodiques de période 6 : 3¹≡3, 3²≡2, 3³≡6, 3⁴≡4, 3⁵≡5 et 3⁶≡1. Comme 2024 ≡ 2 (mod 6), on a 3²⁰²⁴ ≡ 3² ≡ 2 (mod 7).
Le discriminant vaut Δ = (−2)² − 4·1·5 = −16 = (4i)². Les racines sont donc (2 ± 4i)/2, soit 1 ± 2i. La somme des racines vaut bien 2 et leur produit 5.
Comme 30 = 2 × 3 × 5, l'indicatrice d'Euler donne φ(30) = 30(1 − 1/2)(1 − 1/3)(1 − 1/5) = 30 × 1/2 × 2/3 × 4/5 = 8. Les entiers cherchés sont 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.
Il s'agit d'une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 1/6. La probabilité vaut C(3,1)(1/6)(5/6)² = 3 × 25/216 = 75/216 = 25/72.
On applique la formule (arctan u)′ = u′/(1 + u²) avec u = x². Ici u′ = 2x et u² = x⁴, donc f′(x) = 2x/(1 + x⁴).
On écrit sin² x = (1 − cos 2x)/2. Une primitive est x/2 − sin(2x)/4, d'où, entre 0 et π/2, π/4 − 0 = π/4.
En développant selon la première ligne, on obtient 1·(1·1 − 1·2) − 2·(3·1 − 1·0) + 0. Ce calcul donne (1 − 2) − 6 = −7.
C'est une série géométrique de premier terme 1 et de raison 1/3. Comme |1/3| < 1, sa somme vaut 1/(1 − 1/3) = 3/2.
Le plan a pour vecteur normal (1, 1, 1), car les vecteurs AB = (−1, 1, 0) et AC = (−1, 0, 1) sont orthogonaux à ce vecteur. Son équation est donc x + y + z = d, et le point A donne d = 1.
Les congruences modulo 3 et modulo 7 donnent x ≡ 2 mod 21, donc x = 2 + 21k. La condition modulo 5 devient 2 + k ≡ 3 mod 5, soit k ≡ 1 mod 5. Le plus petit entier positif est obtenu pour k = 1, donc x = 23.
On a |f(x)| ≤ x², donc f(x) tend vers 0 = f(0), ce qui assure la continuité. Le taux d'accroissement en 0 vaut x sin(1/x), qui tend vers 0, donc f′(0) = 0. Pour x ≠ 0, f′(x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x), qui n'a pas de limite en 0 : f′ n'est pas continue.
La fonction logarithme n’est définie que pour un argument strictement positif. Ici, 9−x²>0 équivaut à −3<x<3, les bornes étant exclues car l’argument s’annule en −3 et en 3.
On applique la règle de dérivation d’un produit : (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=x et v(x)=ln x. On obtient f′(x)=1·ln x+x·(1/x)=ln x+1.
Après le tirage d’une boule rouge, il reste 2 boules rouges et 2 boules blanches, soit 4 boules au total. La probabilité conditionnelle cherchée vaut donc 2/4=1/2.
L’équation y″+4y=0 a pour solution générale y(x)=A cos(2x)+B sin(2x). Les conditions y(0)=1 et y′(0)=0 donnent A=1 et B=0, donc y(x)=cos(2x).
La matrice A est triangulaire supérieure, donc ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Le polynôme caractéristique est (3−λ)(2−λ), ce qui confirme les valeurs propres 3 et 2.
On complète les carrés : x²−4x=(x−2)²−4 et y²+2y=(y+1)²−1. L’équation devient (x−2)²+(y+1)²=9, soit un cercle de centre (2,−1) et de rayon 3.
La suite est récurrente affine avec un coefficient 1/2, donc elle converge vers l’unique point fixe L vérifiant L=(1/2)L+3. On résout L−L/2=3, soit L/2=3 et L=6.
On applique l’algorithme d’Euclide : 2024=1×1560+464, puis 1560=3×464+168, 464=2×168+128, 168=1×128+40, 128=3×40+8 et 40=5×8+0. Le dernier reste non nul est donc 8.
On pose u=ln x, donc du=dx/x ; les bornes deviennent ln 2 et +∞. On calcule ∫_{ln 2}^{+∞} u^{-2} du = [−1/u]_{ln 2}^{+∞}=1/ln 2.
La deuxième ligne de A est le double de la première et la troisième est nulle, donc rang(A)=1. D’après le théorème du rang, dim ker f=dim ℝ³−rang(A)=3−1=2.
Le numérateur et le dénominateur sont tous deux de degré 2. En divisant par n², u_n tend vers le rapport des coefficients dominants, soit 3/1 = 3.
On cherche x tel que 5x ≡ 1 (mod 17). Or 5×7 = 35 = 2×17 + 1, donc 5×7 ≡ 1 (mod 17).
Le déterminant vaut 1×4 − a×2 = 4 − 2a. Il s'annule lorsque 4 − 2a = 0, c'est-à-dire a = 2.
Le module du quotient est le quotient des modules : |1+i√3|=2 et |1−i|=√2. Donc |z|=2/√2=√2.
On multiplie par la quantité conjuguée : f(x)=(x+1)/(√(x²+x+1)+x). En divisant par x au numérateur et au dénominateur, on obtient une limite égale à 1/2.
Une intégration par parties avec u=x et dv=e^x dx donne [x e^x − e^x]₀¹. En évaluant entre 0 et 1, on obtient (e−e)−(0−1)=1.
Il y a C(5,2)=10 tirages possibles. La somme est paire si les deux numéros ont même parité : C(3,2)=3 choix parmi les impairs et C(2,2)=1 parmi les pairs, soit 4 cas favorables; la probabilité vaut 4/10=2/5.
La relation A²=A montre que A est une projection, donc diagonalisable avec des valeurs propres valant seulement 0 ou 1. La trace est la somme des valeurs propres; tr(A)=2 signifie que deux valeurs propres valent 1 et une vaut 0. Le rang, égal au nombre de valeurs propres non nulles, vaut donc 2.
Posons g(x)=e^x−x². Sa dérivée g′(x)=e^x−2x est strictement positive car e^x−2x atteint son minimum en ln 2 avec la valeur 2−2ln2>0. La fonction g est donc strictement croissante, avec g(x)→−∞ en −∞ et g(x)→+∞ en +∞; elle s'annule donc exactement une fois.
Pour x > 0, on peut écrire ln(x)/x = (1/x)·ln(x). La fonction ln croît plus lentement que toute puissance positive de x, donc ln(x)/x tend vers 0 quand x tend vers +∞.