Enclos adossé à un mur : remise et porte
Une coopérative de Rabat doit aménager un enclos rectangulaire de 96 m² adossé à un mur existant. Trois côtés seulement seront clôturés, le mur servant de quatrième côté. Le grillage coûte 85 DH par mètre, mais le fournisseur applique une remise de 10 % sur toute la commande dès que la longueur dépasse 40 m. La porte, installée sur un des petits côtés, coûte 600 DH et impose que ce côté mesure au moins 6 m. Le budget total maximal est de 5 000 DH, portes et remise comprises. Le responsable propose une largeur de 8 m perpendiculaire au mur et une longueur de 12 m parallèle au mur. Un deuxième employé soutient qu’une largeur de 6 m réduit le coût. On demande de vérifier la faisabilité, de déterminer la configuration la moins chère sous contraintes, puis de statuer sur les deux propositions. Les dimensions doivent être exprimées au centimètre près et le calcul doit distinguer le prix avant et après remise.
1. Écrire le coût total en fonction de la largeur x perpendiculaire au mur, en tenant compte de la porte et de la remise, puis déterminer la configuration optimale sous la contrainte x ≥ 6 m.
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Modélisation. Soit x la largeur perpendiculaire au mur, côté qui porte la porte, et y la longueur parallèle au mur. L’aire impose x·y = 96, donc y = 96/x. La longueur de grillage est L = 2x + y = 2x + 96/x, avec x ≥ 6 m.
Coût hors remise. C(x) = 85(2x + 96/x) + 600. La remise ne s’active que si L > 40 m, ce qui n’est pas le cas à l’optimum trouvé ci-dessous.
Optimisation. C’(x) = 85(2 − 96/x²). C’(x) = 0 donne x² = 48, soit x = 4√3 ≈ 6,928 m. Comme C’ passe de négatif à positif, c’est un minimum. La contrainte x ≥ 6 est respectée. Alors y = 96/6,928 ≈ 13,856 m et L ≈ 2(6,928) + 13,856 ≈ 27,713 m.
Coût minimal. 85 × 27,713 + 600 ≈ 2 355,6 + 600 = 2 955,6 DH, sous le budget de 5 000 DH. À 1 cm près : x ≈ 6,93 m et y ≈ 13,86 m. La remise de 10 % ne s’applique pas car 27,713 m < 40 m.
2. Comparer les deux propositions du responsable et du deuxième employé, puis conclure sur le choix économique.
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Proposition x = 8 m, y = 12 m. Aire : 8 × 12 = 96 m², donc contrainte d’aire respectée. Longueur de grillage : L = 2×8 + 12 = 28 m. Coût : 85×28 + 600 = 2 380 + 600 = 2 980 DH. Pas de remise car 28 m < 40 m.
Proposition x = 6 m, y = 16 m. Aire : 6 × 16 = 96 m² ; la porte est sur un côté de 6 m, donc la contrainte x ≥ 6 est tout juste respectée. Longueur : L = 2×6 + 16 = 28 m. Coût : 85×28 + 600 = 2 980 DH.
Interprétation. Les deux propositions coûtent exactement le même prix, car elles utilisent la même longueur de grillage. Elles sont faisables et sous budget, mais aucune n’est optimale : le minimum calculé vaut environ 2 955,6 DH avec x ≈ 6,93 m et y ≈ 13,86 m. Le gain est faible, environ 24 DH, mais il existe. La remise ne change pas la décision puisqu’elle reste inapplicable dans les trois configurations. Conclusion : retenir la configuration proche de x = 6,93 m et y = 13,86 m, et non les deux propositions initiales.