Concours passerelle ENSAM Rabat flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Équivalents usuels en 0

Quand x tend vers 0, sin x ∼ x, tan x ∼ x, e^x−1 ∼ x, ln(1+x) ∼ x et 1−cos x ∼ x²/2; on ne remplace que dans un produit ou quotient.

Dérivée de ln u

Si u est dérivable et strictement positive, (ln u)′ = u′/u. Pour u ≠ 0, (ln|u|)′ = u′/u; primitive de u′/u sur un intervalle sans zéro de u : ln|u| + C.

Développement limité de e^x

Au voisinage de 0, e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³). Ce DL sert à lever des indéterminations et à obtenir un équivalent local.

Critère d’inversibilité matricielle

Une matrice carrée A d’ordre n est inversible si et seulement si det(A) ≠ 0. Alors le système AX=B admet l’unique solution X=A⁻¹B.

Théorème du rang

Pour une application linéaire f de E de dimension finie n, dim(ker f) + rang(f) = n. Le rang est la dimension de l’image de f.

Formule de Bayes

Pour deux événements A et B de probabilité non nulle, P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B). Cette formule actualise la probabilité de A après observation de B.

Espérance d’une loi binomiale

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors E(X)=np et Var(X)=np(1−p). L’écart type vaut racine carrée de np(1−p).

Intégration par parties

Pour u et v dérivables à dérivées continues, ∫_a^b u′v = [uv]_a^b − ∫_a^b uv′. Choisir u′ facile à intégrer et v facile à dériver.

Équation différentielle linéaire ordre 1

L’équation y′+ay=b, avec a≠0, a pour solutions y(t)=Ce^{−at}+b/a. La constante C est fixée par la condition initiale.

Règle de d’Alembert

Pour une série à termes positifs, si lim |u_{n+1}/u_n|=L, la série converge pour L<1 et diverge pour L>1; le cas L=1 est indéterminé.

Identité trigonométrique fondamentale

Pour tout réel x, cos²x+sin²x=1. On en déduit cos2x=cos²x−sin²x=2cos²x−1=1−2sin²x et sin2x=2sin x cos x. Ces identités servent à linéariser.

Deuxième loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un solide de masse constante m égale m fois son accélération : ΣF = m a.

Énergie cinétique et travail

Pour un solide de masse m et vitesse v, Ec=½mv². Le théorème de l’énergie cinétique énonce que ΔEc est égal au travail total des forces entre les deux états.

Mouvement circulaire uniforme

Pour un point tournant à vitesse angulaire ω constante sur un cercle de rayon R, v=Rω et l’accélération est centripète, de norme a=Rω²=v²/R.

Loi d’Ohm

Pour un conducteur ohmique, la tension à ses bornes vaut U=RI, où R est la résistance en ohms et I l’intensité en ampères. La puissance dissipée est P=RI²=U²/R.

Circuit RC série

Lors de la charge d’un condensateur C à travers une résistance R sous tension constante, la constante de temps vaut τ=RC. La tension aux bornes de C atteint environ 63 % de sa valeur finale à t=τ.

Premier principe de la thermodynamique

Pour un système fermé, ΔU=Q+W en convention où W est le travail reçu. U est l’énergie interne, Q la chaleur reçue et W le travail des forces extérieures.

Loi des gaz parfaits

Pour n moles de gaz parfait, PV=nRT, avec P en pascals, V en mètres cubes, T en kelvins et R≈8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹.

Relation de Snell-Descartes

À l’interface entre deux milieux d’indices n₁ et n₂, n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂, où i₁ et i₂ sont les angles mesurés par rapport à la normale.

Force de Lorentz

Une charge q animée d’une vitesse v dans un champ électrique E et un champ magnétique B subit F=q(E+v×B). La composante magnétique est perpendiculaire à v et à B.

Loi de Faraday

La force électromotrice induite dans un circuit vaut e=−dΦ/dt, où Φ est le flux magnétique à travers le circuit. Le signe traduit la loi de Lenz.

Équilibre statique d’un solide

Un solide soumis à des forces est en équilibre dans un référentiel donné si ΣF=0 et ΣM/O=0 pour un point O quelconque. Ces deux conditions vectorielles fournissent six équations scalaires dans l’espace.

Moment d’une force

Le moment en un point O d’une force F appliquée en A vaut M_O(F)=OA×F. Sa norme est F·d·sinθ, où d=OA et θ l’angle entre OA et F.

Contrainte normale simple

Pour une barre droite soumise à un effort normal N et de section A, la contrainte normale moyenne vaut σ=N/A, en pascals si N est en newtons et A en mètres carrés.

Loi de Hooke uniaxiale

Dans le domaine élastique, la contrainte normale σ et la déformation ε sont liées par σ=Eε, où E est le module d’Young du matériau. La déformation est sans dimension.

Allongement élastique d’une barre

Une barre de longueur L, section A et module E soumise à un effort normal N subit ΔL=NL/(EA). Cette relation suppose un comportement élastique linéaire et une section constante.

Flexion simple contrainte

En flexion simple élastique, la contrainte normale à une distance y de l’axe neutre vaut σ=M y/I, où M est le moment fléchissant et I le moment quadratique de la section.

Puissance mécanique en rotation

Pour un arbre tournant à la vitesse angulaire ω et transmettant un couple C, la puissance vaut P=Cω. Avec ω en rad/s et C en N·m, P s’exprime en watts.

Rapport de réduction d’engrenages

Pour deux pignons en prise d’effectifs Z₁ et Z₂, le rapport de vitesses angulaires est ω₂/ω₁=Z₁/Z₂ pour des roues extérieures. Le couple est inversement modifié si le rendement est supposé unitaire.

Fonction de transfert premier ordre

Un système du premier ordre a pour fonction de transfert H(p)=K/(1+τp), avec gain statique K et constante de temps τ. À un échelon, la réponse atteint 63 % de sa valeur finale à t=τ.

Stabilité d’un système bouclé

Un système linéaire est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert ont une partie réelle strictement négative. Pour un deuxième ordre, cela impose ζ>0 et ω₀>0.

Amplificateur opérationnel idéal

En régime linéaire, un AOP idéal possède une tension différentielle nulle entre ses entrées et des courants d’entrée nuls. Ces hypothèses simplifient les montages à contre-réaction.