Concours passerelle ENSAM Rabat cheat sheet

Équivalents en 0 : sin x ∼ x, tan x ∼ x, e^x−1 ∼ x, ln(1+x) ∼ x, 1−cos x ∼ x²/2 ; ne remplacer que dans un produit ou un quotient.

Dérivées : (u^n)′=n u^{n−1}u′, (e^u)′=u′e^u, (ln u)′=u′/u, (tan u)′=u′(1+tan²u).

Primitives : ∫u′u^n dx=u^{n+1}/(n+1), ∫u′/u dx=ln|u|, ∫u′e^u dx=e^u, ∫u′cos u dx=sin u.

DL en 0 : e^x=1+x+x²/2+x³/6+o(x³), ln(1+x)=x−x²/2+x³/3+o(x³), (1+x)^α=1+αx+α(α−1)x²/2+o(x²).

Matrice : A inversible ⇔ det A≠0 ; AX=B a alors une unique solution X=A⁻¹B ; (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹.

Rang : dim Ker f + rang f = dim E ; f injective ⇔ Ker f={0} ; f surjective ⇔ rang f=dim F.

Probabilités : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) ; P(A|B)=P(A∩B)/P(B) ; Bayes P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B).

Loi binomiale X∼B(n,p) : P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}, E(X)=np, Var(X)=np(1−p).

Série : si |u_{n+1}/u_n|→L, convergence absolue pour L<1, divergence grossière pour L>1 ; critère de Riemann ∑1/n^α converge ssi α>1.

Cinématique : v=dx/dt, a=dv/dt ; mouvement circulaire v=Rω, a_c=Rω²=v²/R, période T=2π/ω.

Newton : dans un référentiel galiléen, ΣF=ma ; poids P=mg ; force de frottement sec |f|≤μN, à la limite |f|=μN.

Énergie : Ec=½mv² ; Ep=mgh ; théorème ΔEc=W_total ; puissance P=F·v (produit scalaire).

Électricité : U=RI, P=UI=RI²=U²/R ; résistances en série R_eq=ΣR_i, en parallèle 1/R_eq=Σ1/R_i.

Circuits : condensateur i=C du/dt, énergie ½Cu² ; bobine u=L di/dt, énergie ½Li² ; constante RC τ=RC, RL τ=L/R.

Thermodynamique : ΔU=Q+W (W reçu) ; gaz parfait PV=nRT ; Q=mcΔT ; transformation adiabatique réversible PV^γ=constante.

Ondes : v=λf ; réfraction n₁ sin i₁=n₂ sin i₂ ; réflexion totale si n₁>n₂ et i₁>arcsin(n₂/n₁).

Électromagnétisme : F=q(E+v×B) ; flux Φ=∬B·dS ; fem induite e=−dΦ/dt.

Photons : E=hν=hc/λ ; h≈6,63×10⁻³⁴ J·s ; seuil photoélectrique hν≥W_extraction.

Statique : équilibre si ΣF=0 et ΣM/O=0 ; moment M_O(F)=OA×F, norme F·d·sinθ.

RDM : σ=N/A ; ε=ΔL/L ; loi de Hooke σ=Eε ; allongement ΔL=NL/(EA).

Flexion : σ=M y/I ; contrainte maximale σ_max=M v/I avec v distance à l’axe neutre ; dimensionnement σ_max≤σ_adm.

Torsion : τ=T ρ/J ; angle de torsion θ=TL/(GJ) pour une barre de longueur L ; τ_max=T R/J.

Transmission : P=Cω ; rendement η=P_sortie/P_entrée ; engrenages extérieurs ω₂/ω₁=Z₁/Z₂ si rendement unitaire.

Automatique : premier ordre H(p)=K/(1+τp), réponse à un échelon à 63 % à t=τ ; deuxième ordre H(p)=Kω₀²/(p²+2ζω₀p+ω₀²).

Stabilité : système linéaire stable si tous les pôles ont Re(p)<0 ; pour un deuxième ordre, ζ>0 et ω₀>0 ; marge de phase positive pour stabilité robuste.

AOP idéal en régime linéaire : v⁺=v⁻ et i⁺=i⁻=0 ; en saturation, la sortie vaut ±V_sat selon le signe de v⁺−v⁻.

Matériaux : coefficient de sécurité s=R_e/σ_adm ; critère de von Mises pour ductiles σ_eq=√(σ₁²−σ₁σ₂+σ₂²) en contraintes planes.