Dépistage bayésien de cartes électroniques
Un atelier de Rabat assemble 1 200 cartes électroniques par jour. Les microcontrôleurs proviennent de deux lots : le lot A fournit 70 % des unités, le lot B 30 %. Une carte utilisant un composant du lot A a une probabilité 0,02 de tomber en panne à la réception ; avec le lot B, cette probabilité est 0,05. Un test rapide coûte 12 DH par carte et détecte une carte défectueuse avec une probabilité 0,90 ; il produit aussi 4 % de faux positifs sur une carte saine. Une carte testée positive est soit réparée pour 80 DH, soit mise au rebut pour 150 DH. Une carte non testée qui tombe en panne coûte 400 DH en garantie. Le chef d’atelier veut savoir si le test systématique est rentable et comment traiter une carte positive. Il exige un calcul Bayésien et une comparaison des coûts moyens par carte, en supposant que les pannes des composants sont indépendantes et que le test ne modifie pas la panne.
1. Calculer la probabilité qu’une carte soit défectueuse, puis la probabilité qu’elle le soit sachant que le test est positif.
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Probabilité de défaut. Notons D l’événement carte défectueuse et + l’événement test positif. Par la loi des probabilités totales : P(D) = 0,70×0,02 + 0,30×0,05 = 0,014 + 0,015 = 0,029.
Probabilité d’un test positif. La sensibilité est P(+|D) = 0,90 et le taux de faux positifs est P(+|non D) = 0,04. Donc P(+) = 0,90×0,029 + 0,04×(1−0,029) = 0,0261 + 0,03884 = 0,06494.
Formule de Bayes. P(D|+) = P(+|D)P(D) / P(+) = 0,0261 / 0,06494 ≈ 0,4019.
Ainsi, environ 40,2 % des cartes testées positives sont réellement défectueuses. Le test est loin d’être parfait : la majorité des positives sont des faux positifs, car la prévalence de défaut est faible.
2. Comparer le coût moyen par carte sans test et avec test systématique suivi de la meilleure action sur les positives. Conclure sur la rentabilité.
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Sans test. Une carte défectueuse non détectée coûte 400 DH en garantie. Le coût moyen est 0,029×400 = 11,60 DH par carte.
Avec test et réparation des positives. Le test coûte 12 DH. La réparation coûte 80 DH par carte positive, soit 80×0,06494 ≈ 5,195 DH en moyenne. Les faux négatifs restent défectueux : P(D et négatif) = 0,029×0,10 = 0,0029, d’où un coût de garantie 400×0,0029 = 1,16 DH. Total ≈ 12 + 5,195 + 1,16 = 18,36 DH par carte.
Avec test et mise au rebut des positives. Coût ≈ 12 + 150×0,06494 + 1,16 = 12 + 9,741 + 1,16 = 22,90 DH. La réparation est donc moins chère que le rebut pour une carte positive, mais les deux stratégies dépassent le coût sans test.
Conclusion. Le test systématique n’est pas rentable avec ce barème : 18,36 DH > 11,60 DH. Il apporte de l’information, mais le coût du test et la réparation des nombreux faux positifs annulent le gain.
3. Quel coût maximal du test rendrait la stratégie test avec réparation au moins aussi bonne que l’absence de test ?
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On garde la stratégie test avec réparation, dont le coût hors test est 5,195 + 1,16 ≈ 6,355 DH par carte. Soit c le coût du test. Il faut : c + 6,355 ≤ 11,60, donc c ≤ 11,60 − 6,355 = 5,245 DH.
Le test devrait coûter au plus environ 5,25 DH par carte pour être au moins aussi intéressant que l’absence de test. Avec un test à 12 DH, il faudrait plutôt améliorer fortement la spécificité ou réduire le coût de réparation. Par exemple, si le taux de faux positifs diminuait, P(+) baisserait et le coût de réparation des positives aussi.