Wagonnet et butoir à ressort
Sur une ligne de montage à Casablanca, un wagonnet de 250 kg part du repos au sommet d’une rampe inclinée de 18° sur 12 m, puis roule sur un tronçon horizontal de 20 m avant un butoir à ressort. Les frottements sont négligés sur la rampe, mais le tronçon horizontal exerce une force de frottement constante de 180 N. Le butoir se comporte comme un ressort de raideur 35 kN/m et ne doit pas dépasser une compression de 0,25 m, valeur au-delà de laquelle un capteur de sécurité déclenche l’arrêt d’urgence. Un technicien affirme que le wagonnet s’arrêtera avant le butoir grâce aux frottements ; un autre craint que le ressort soit trop comprimé. On demande de vérifier les deux affirmations à partir de l’énergie, puis de déterminer la vitesse au contact du butoir et la compression maximale. On prend g = 9,81 m/s² et on suppose que le wagonnet reste sur les rails.
1. Le wagonnet atteint-il le butoir ? Justifier par un bilan d’énergie et calculer sa vitesse au contact du butoir.
Read the worked answer
Énergie au sommet. La hauteur de la rampe est h = 12 sin 18° ≈ 12×0,3090 = 3,708 m. L’énergie potentielle initiale vaut Ep = mgh = 250×9,81×3,708 ≈ 9 094 J.
Frottement sur le tronçon horizontal. Le travail de frottement sur 20 m est Wf = 180×20 = 3 600 J. L’énergie mécanique restante au contact du butoir est donc Ec = 9 094 − 3 600 = 5 494 J.
Comme Ec > 0, le wagonnet atteint bien le butoir. Sa vitesse au contact est v = √(2Ec/m) = √(2×5 494/250) = √43,952 ≈ 6,63 m/s.
L’affirmation selon laquelle les frottements l’arrêteraient avant le butoir est fausse : il faudrait une distance d’arrêt d’environ 9 094/180 ≈ 50,5 m sur le plat, très supérieure aux 20 m disponibles.
2. Calculer la compression maximale du ressort en tenant compte du frottement pendant la compression. Le capteur de sécurité se déclenche-t-il ?
Read the worked answer
À compression maximale x, toute l’énergie cinétique au contact est convertie en énergie de ressort et en travail de frottement :
5 494 = 0,5×35 000×x² + 180x.
Donc 17 500x² + 180x − 5 494 = 0. Le discriminant vaut Δ = 180² + 4×17 500×5 494 ≈ 384 612 400, d’où √Δ ≈ 19 611,5. La racine positive est x = (−180 + 19 611,5)/(2×17 500) ≈ 0,555 m.
La compression maximale vaut environ 0,555 m, soit plus du double de la limite de 0,25 m. Le capteur de sécurité se déclenche. Même en négligeant le frottement pendant la compression, on trouverait x ≈ √(2×5 494/35 000) ≈ 0,560 m : la conclusion reste la même.
3. Quelle raideur minimale faudrait-il pour que la compression maximale reste égale à 0,25 m ?
Read the worked answer
On impose x = 0,25 m dans le bilan d’énergie avec frottement :
5 494 = 0,5×k×(0,25)² + 180×0,25.
Le travail de frottement vaut 45 J. Donc 0,5×k×0,0625 = 5 494 − 45 = 5 449, soit 0,03125k = 5 449. On obtient k = 5 449/0,03125 = 174 368 N/m, soit environ 174 kN/m.
Le ressort actuel de 35 kN/m est très insuffisant : il faudrait une raideur environ cinq fois plus grande pour respecter la limite de 0,25 m. Une autre solution serait de réduire l’énergie à l’entrée du butoir, par exemple en augmentant les frottements ou en abaissant la rampe.