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Concours passerelle ENSAM Rabat practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Mathématiques

La limite lim_{x→0} sin(3x)/(2x) vaut :

  1. 2/3
  2. 3
  3. 0
  4. 3/2 Correct answer.

Explanation

On utilise la limite de référence sin(u)/u → 1 quand u → 0. En écrivant sin(3x)/(2x) = (3/2)·sin(3x)/(3x), le facteur sin(3x)/(3x) tend vers 1, donc la limite vaut 3/2.

Question 2Mathématiques

Le module du nombre complexe z = (1+i)/(1−i) est égal à :

  1. 2
  2. 0
  3. 1 Correct answer.
  4. √2

Explanation

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué 1+i : z = (1+i)^2/(1^2+1^2) = (2i)/2 = i. Le module de i vaut 1.

Question 3Mathématiques

La suite (u_n) est définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 2u_n + 3 pour tout entier n ≥ 0. Quelle expression donne u_n en fonction de n ?

  1. 2^(n+1) − 3
  2. 2^(n+2) − 3 Correct answer.
  3. 2^(n+2) + 3
  4. 3·2^n − 3

Explanation

On cherche le point fixe ℓ solution de ℓ = 2ℓ + 3, soit ℓ = −3. En posant v_n = u_n + 3, on obtient v_{n+1} = 2v_n avec v_0 = 4, donc v_n = 4·2^n = 2^(n+2) et u_n = 2^(n+2) − 3.

Question 4Mathématiques

Dans un repère orthonormé du plan, le cercle d'équation x^2 + y^2 − 4x + 6y − 12 = 0 a pour centre et rayon :

  1. Centre (2 ; −3), rayon 5 Correct answer.
  2. Centre (2 ; −3), rayon √12
  3. Centre (−2 ; 3), rayon 25
  4. Centre (−2 ; 3), rayon 5

Explanation

On complète les carrés : x^2 − 4x = (x − 2)^2 − 4 et y^2 + 6y = (y + 3)^2 − 9. L'équation devient (x − 2)^2 + (y + 3)^2 = 25, donc le centre est (2 ; −3) et le rayon vaut 5.

Question 5Mathématiques

Pour la matrice A = [[1, 1], [0, 1]], quelle est l'expression de A^n pour tout entier n ≥ 1 ?

  1. [[1, 1], [0, n]]
  2. [[1, n], [0, 1]] Correct answer.
  3. [[1, n^2], [0, 1]]
  4. [[n, n], [0, n]]

Explanation

On écrit A = I + N avec N = [[0, 1], [0, 0]] et N^2 = 0. La formule du binôme donne A^n = I + nN, car les puissances supérieures de N sont nulles; on obtient donc [[1, n], [0, 1]].

Question 6Mathématiques

La valeur de l’intégrale de 0 à 1 de x e^(x²) dx est :

  1. (e²−1)/2
  2. e−1
  3. (e−1)/2 Correct answer.
  4. e/2

Explanation

On pose u=x², donc du=2x dx, et les bornes restent 0 et 1. L’intégrale devient (1/2)∫₀¹ e^u du, soit (1/2)(e−1).

Question 7Mathématiques

Une urne contient 3 boules rouges et 5 boules blanches, indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules. La probabilité d’obtenir deux boules de même couleur est :

  1. 1/2
  2. 13/28 Correct answer.
  3. 15/28
  4. 11/28

Explanation

Il y a C(8,2)=28 tirages simultanés possibles. Les tirages favorables sont C(3,2)+C(5,2)=3+10=13, donc la probabilité cherchée vaut 13/28.

Question 8Mathématiques

Les solutions réelles de l’équation différentielle y'' + 4y = 0 sont de la forme :

  1. (A+Bx)e^(2x)
  2. A e^(2x)+B e^(−2x)
  3. A cos(2x)+B sin(2x) Correct answer.
  4. A cos(4x)+B sin(4x)+C

Explanation

L’équation caractéristique associée est r²+4=0, dont les racines sont r=±2i. Les solutions réelles sont donc A cos(2x)+B sin(2x), avec A et B réels.

Question 9Mathématiques

L’ensemble des réels x vérifiant ln(x−1)+ln(x+2) ≤ ln(6) est :

  1. ]1, (−1+√33)/2] Correct answer.
  2. [1, (−1+√33)/2]
  3. ]1, (1+√33)/2]
  4. ]−2, (−1+√33)/2]

Explanation

Les logarithmes imposent x−1>0 et x+2>0, donc x>1. L’inégalité équivaut à (x−1)(x+2)≤6, soit x²+x−8≤0; la racine positive est (−1+√33)/2. L’intersection avec x>1 donne ]1, (−1+√33)/2].

Question 10Mathématiques

Pour tout réel m, on pose P_m(x)=x³−3x+m. Le polynôme P_m admet exactement trois racines réelles distinctes si et seulement si :

  1. m∈]−2,2[ Correct answer.
  2. m∈]−∞,−2[∪]2,+∞[
  3. m∈[−2,2]
  4. m=0

Explanation

La dérivée P'_m(x)=3(x²−1) s’annule en −1 et 1. Le maximum local vaut P_m(−1)=m+2 et le minimum local vaut P_m(1)=m−2. Trois racines réelles distinctes exigent m+2>0>m−2, donc −2<m<2.

Question 11Mathématiques

Pour tout réel x tel que sin(2x) ≠ 0, l'expression (1 − cos 2x)/(sin 2x) est égale à :

  1. 2 sin x
  2. cos x
  3. sin 2x
  4. tan x Correct answer.

Explanation

On applique les formules de duplication : 1 − cos 2x = 2 sin²x et sin 2x = 2 sin x cos x. Le quotient s'écrit donc 2 sin²x / (2 sin x cos x) = sin x / cos x, c'est-à-dire tan x, pour tout x où sin x et cos x sont non nuls.

Question 12Mathématiques

Le reste de la division euclidienne de 7^100 par 5 est égal à :

  1. 1 Correct answer.
  2. 4
  3. 2
  4. 0

Explanation

Modulo 5, on a 7 ≡ 2, donc 7^100 ≡ 2^100 (mod 5). Les puissances de 2 modulo 5 suivent le cycle 2, 4, 3, 1 de période 4. Comme 100 = 4 × 25, l'exposant est multiple de 4, d'où 2^100 ≡ 1 (mod 5) et le reste cherché vaut 1.

Question 13Mathématiques

Dans R³, on pose u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1), w = (1, 1, 2) et t = (1, 0, 0). La dimension du sous-espace vectoriel Vect(u, v, w, t) est égale à :

  1. 2
  2. 4
  3. 1
  4. 3 Correct answer.

Explanation

On remarque que w = u + v, donc w n'apporte aucune direction nouvelle et Vect(u, v, w, t) = Vect(u, v, t). Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, et t n'est pas combinaison linéaire de u et v : l'égalité t = αu + βv imposerait β = 0 puis α = 0, ce qui contredit la première coordonnée. La famille (u, v, t) est donc libre et la dimension vaut 3.

Question 14Mathématiques

Une maladie atteint 1 % d'une population. Un test de dépistage est positif chez 99 % des malades et chez 2 % des personnes saines. La probabilité qu'une personne testée positive soit réellement malade est d'environ :

  1. 0,99
  2. 0,02
  3. 1/3 Correct answer.
  4. 1/2

Explanation

La formule de Bayes donne P(M|+) = P(+|M)P(M) / [P(+|M)P(M) + P(+|S)P(S)] = (0,99 × 0,01) / (0,99 × 0,01 + 0,02 × 0,99) = 0,0099 / 0,0297 = 1/3. La très faible prévalence fait que la majorité des tests positifs sont des faux positifs.

Question 15Mathématiques

Le nombre de solutions réelles de l'équation e^x = x² est égal à :

  1. 3
  2. 0
  3. 2
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Posons f(x) = e^x − x², de dérivée f'(x) = e^x − 2x. Pour x ≤ 0, f'(x) > 0 ; pour x > 0, f' atteint son minimum en x = ln 2 avec f'(ln 2) = 2 − 2 ln 2 > 0, donc f' > 0 sur R et f est strictement croissante. Comme f(x) tend vers −∞ en −∞ et f(0) = 1 > 0, l'équation admet une unique solution, située dans ]−1, 0[.

Question 16Mathématiques

La dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = ln(x² + 1) est :

  1. 1/(x² + 1)
  2. 2x ln(x² + 1)
  3. 2x/(x² + 1) Correct answer.
  4. x/(x² + 1)

Explanation

La dérivée de ln(u) est u′/u avec u(x) = x² + 1, donc u′(x) = 2x. Ainsi f′(x) = 2x/(x² + 1) pour tout réel x.

Question 17Mathématiques

La limite lim_{x→+∞} (2x³ − x + 1)/(x³ + 4) vaut :

  1. +∞
  2. 2 Correct answer.
  3. 0
  4. 1/2

Explanation

Pour x→+∞, on divise numérateur et dénominateur par x³. Alors (2x³ − x + 1)/(x³ + 4) = (2 − 1/x² + 1/x³)/(1 + 4/x³), qui tend vers 2/1 = 2.

Question 18Mathématiques

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, la distance du point A(2, 0, 1) au plan d'équation 2x − y + 2z − 3 = 0 est égale à :

  1. 1/3
  2. 1 Correct answer.
  3. 3
  4. 2

Explanation

La formule de distance d'un point A(x0, y0, z0) à un plan ax + by + cz + d = 0 est |ax0 + by0 + cz0 + d|/√(a² + b² + c²). Ici, |2·2 − 0 + 2·1 − 3|/√(4 + 1 + 4) = 3/3 = 1.

Question 19Mathématiques

Combien de nombres entiers à trois chiffres tous distincts peut-on former en utilisant uniquement les chiffres 1, 2, 3, 4 et 5 ?

  1. 60 Correct answer.
  2. 10
  3. 125
  4. 20

Explanation

Pour former un nombre à trois chiffres distincts, on choisit d'abord le chiffre des centaines (5 possibilités), puis celui des dizaines (4 possibilités restantes), puis celui des unités (3 possibilités restantes). Le nombre total est 5×4×3 = 60.

Question 20Mathématiques

On considère l'équation différentielle y′ + 2y = e^{−x}. La solution y définie sur ℝ qui vérifie y(0) = 1 est :

  1. y(x) = e^{−x} + e^{−2x}
  2. y(x) = e^{−2x}
  3. y(x) = 2e^{−x}
  4. y(x) = e^{−x} Correct answer.

Explanation

On multiplie l'équation par e^{2x}, ce qui donne (y e^{2x})′ = e^{x}. En intégrant, y e^{2x} = e^x + C, donc y = e^{−x} + C e^{−2x}. La condition y(0) = 1 impose 1 = 1 + C, d'où C = 0 et y = e^{−x}.

Question 21Mathématiques

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les vecteurs u = (a, 1) et v = (2, −3). Pour quelle valeur de a les vecteurs u et v sont-ils orthogonaux ?

  1. −3/2
  2. 2/3
  3. −2/3
  4. 3/2 Correct answer.

Explanation

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Ici u·v = 2a − 3, donc l’équation 2a − 3 = 0 donne a = 3/2.

Question 22Mathématiques

On considère la suite géométrique (u_n) de premier terme u_0 = 4 et de raison q = 1/2. La somme u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 est égale à :

  1. 27/4
  2. 15/2
  3. 31/4 Correct answer.
  4. 8

Explanation

La somme des cinq premiers termes d’une suite géométrique de raison q ≠ 1 est u_0(1−q^5)/(1−q). Ici, 4(1−(1/2)^5)/(1−1/2) = 8(31/32) = 31/4.

Question 23Mathématiques

Soit z = −1 + i√3. Un argument principal de z, exprimé en radians, est :

  1. 5π/3
  2. 2π/3 Correct answer.
  3. π/3
  4. −π/3

Explanation

Le point d’affixe z est situé dans le deuxième quadrant du plan complexe. Comme |z| = 2, cos θ = −1/2 et sin θ = √3/2, l’argument principal est θ = 2π/3.

Question 24Mathématiques

On pose I = ∫_0^1 x ln(1+x) dx. Quelle est la valeur exacte de I ?

  1. 1/2
  2. (ln 2)/2
  3. 1/4 Correct answer.
  4. (2 ln 2 − 1)/4

Explanation

On intègre par parties avec u = ln(1+x) et dv = x dx. On obtient I = (ln 2)/2 − (1/2)∫_0^1 x²/(1+x) dx, puis x²/(1+x) = x − 1 + 1/(1+x), ce qui donne finalement I = 1/4.

Question 25Mathématiques

On lance un dé équilibré à six faces, de façon indépendante, jusqu’à obtenir un 6. La probabilité que le nombre total de lancers effectués soit pair est égale à :

  1. 1/2
  2. 6/11
  3. 5/11 Correct answer.
  4. 5/6

Explanation

Le nombre de lancers suit une loi géométrique de paramètre 1/6. La probabilité que le premier 6 apparaisse au lancer 2k vaut (5/6)^{2k−1}(1/6), et la somme sur k ≥ 1 donne (5/36)/(1−25/36) = 5/11.

Question 26Mathématiques

Dans ℝ, la solution de l'équation 3^{2x-1}=27 est :

  1. x=5/2
  2. x=3
  3. x=1
  4. x=2 Correct answer.

Explanation

On écrit 27=3^3. L'équation 3^{2x-1}=27 équivaut donc à 3^{2x-1}=3^3. La fonction exponentielle de base 3 étant injective, on a 2x-1=3, puis 2x=4 et x=2.

Question 27Mathématiques

Dans ℝ, l'ensemble des solutions de l'équation x²−5x+6=0 est :

  1. {2;-3}
  2. {1;6}
  3. {2;3} Correct answer.
  4. {-2;-3}

Explanation

Le discriminant vaut Δ=(-5)²−4×1×6=25−24=1. Les solutions sont (5−1)/2=2 et (5+1)/2=3. On peut aussi factoriser x²−5x+6=(x−2)(x−3).

Question 28Mathématiques

Soit A = [[0,1],[-1,0]]. Dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2, la matrice A^4 est égale à :

  1. -I
  2. I Correct answer.
  3. -A
  4. A

Explanation

On calcule A² = [[-1,0],[0,-1]] = -I, où I est la matrice identité d'ordre 2. Par conséquent A⁴=(A²)²=(-I)²=I. Géométriquement, A représente une rotation d'angle π/2, dont quatre applications successives donnent l'identité.

Question 29Mathématiques

La suite (u_n) est définie par u_0=1 et, pour tout entier n≥0, u_{n+1}= (1/2)u_n+3. Cette suite converge ; sa limite ℓ est égale à :

  1. 3
  2. 9
  3. 6 Correct answer.
  4. 12

Explanation

Si la limite ℓ existe, la relation de récurrence et la continuité donnent ℓ=(1/2)ℓ+3. On en déduit (1/2)ℓ=3, donc ℓ=6. On peut aussi écrire u_{n+1}−6=(1/2)(u_n−6), ce qui confirme la convergence vers 6.

Question 30Mathématiques

Le nombre de couples (x,y) d'entiers relatifs vérifiant x²−y²=15 est :

  1. 16
  2. 4
  3. 2
  4. 8 Correct answer.

Explanation

On factorise x²−y²=(x−y)(x+y)=15. Les deux facteurs doivent être impairs, ce qui est toujours le cas pour les diviseurs de 15. Chaque couple ordonné (a,b) de diviseurs de 15 avec ab=15 donne x=(a+b)/2 et y=(b−a)/2 ; il y a 8 couples ordonnés de diviseurs, donc 8 couples (x,y).

Question 31Mathématiques

Un article est affiché à 2 400 DH après une remise de 20 %. Quel était son prix initial ?

  1. 3 200 DH
  2. 1 920 DH
  3. 3 000 DH Correct answer.
  4. 2 880 DH

Explanation

Une remise de 20 % signifie que le prix payé vaut 80 % du prix initial. Si P est le prix initial, alors 0,8P = 2 400, donc P = 3 000 DH.

Question 32Mathématiques

Quel est l’ensemble de définition de la fonction f définie par f(x) = ln(3 − x) ?

  1. ]3 ; +∞[
  2. ℝ \ {3}
  3. ]−∞ ; 3[ Correct answer.
  4. [3 ; +∞[

Explanation

La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; +∞[. Il faut donc 3 − x > 0, c’est-à-dire x < 3, d’où l’ensemble ]−∞ ; 3[.

Question 33Mathématiques

On tire simultanément deux cartes d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d’obtenir deux rois ?

  1. 3/124
  2. 1/64
  3. 1/16
  4. 3/248 Correct answer.

Explanation

Il y a C(4,2) = 6 façons de choisir deux rois parmi 4, et C(32,2) = 496 façons de choisir deux cartes parmi 32. La probabilité vaut donc 6/496 = 3/248.

Question 34Mathématiques

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, le plan passant par A(1 ; 0 ; 2) et de vecteur normal n(2 ; −1 ; 1) a pour équation :

  1. x + 2y + z − 3 = 0
  2. 2x − y + z + 4 = 0
  3. 2x + y − z − 4 = 0
  4. 2x − y + z − 4 = 0 Correct answer.

Explanation

Un plan de vecteur normal (a ; b ; c) admet une équation de la forme ax + by + cz + d = 0. Avec n(2 ; −1 ; 1) et A(1 ; 0 ; 2), on obtient 2 − 0 + 2 + d = 0, donc d = −4.

Question 35Mathématiques

Pour tout entier n ≥ 1, la somme S_n = Σ_{k=1}^{n} k 2^k est égale à :

  1. n 2^{n+1} + 2
  2. (n + 1)2^{n+1} − 2
  3. (n − 1)2^{n+1} + 2 Correct answer.
  4. (n − 1)2^n + 2

Explanation

On peut utiliser l’identité k2^k = (k − 1)2^{k+1} − (k − 2)2^k. La somme se télescope alors et il reste (n − 1)2^{n+1} + 2.

Question 36Mathématiques

Le déterminant de la matrice M = [[3, −1], [2, 4]] est :

  1. 14 Correct answer.
  2. 10
  3. 12
  4. 16

Explanation

Pour une matrice M = [[a,b],[c,d]], le déterminant vaut ad − bc. Ici, det(M) = 3×4 − (−1)×2 = 12 + 2 = 14. Une erreur fréquente consiste à oublier le signe devant le produit bc.

Question 37Mathématiques

Le module du nombre complexe z = 3 − 4i est :

  1. 7
  2. 1
  3. 25
  4. 5 Correct answer.

Explanation

Le module de z = a + bi vaut |z| = √(a²+b²). Pour z = 3 − 4i, on obtient √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Le carré du module vaut 25, mais la question demande le module.

Question 38Mathématiques

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire successivement deux boules sans remise. Sachant que la première boule tirée est rouge, quelle est la probabilité que la deuxième boule soit bleue ?

  1. 1/2 Correct answer.
  2. 1/5
  3. 3/5
  4. 2/5

Explanation

Sachant que la première boule est rouge, il reste 2 rouges et 2 bleues, soit 4 boules. La probabilité conditionnelle de tirer une bleue ensuite est donc 2/4 = 1/2. Il ne faut pas utiliser la proportion initiale 2/5, car le tirage est sans remise et la première information est déjà acquise.

Question 39Mathématiques

Dans le plan complexe, l’ensemble des points d’affixe z tels que |z − 1| = |z + i| est :

  1. la droite d’équation x = 0
  2. la droite d’équation y = −x Correct answer.
  3. le cercle de centre O et de rayon 1
  4. la droite d’équation y = x

Explanation

On écrit z = x + iy. L’égalité |z−1| = |z+i| signifie que M est équidistant de A(1,0) et B(0,−1), donc M décrit la médiatrice de [AB]. En élevant au carré, on obtient (x−1)²+y² = x²+(y+1)², ce qui se simplifie en y = −x.

Question 40Mathématiques

La limite lim_{x→0} (e^x − 1 − x)/x² vaut :

  1. 0
  2. 1
  3. +∞
  4. 1/2 Correct answer.

Explanation

Le développement limité de e^x en 0 est e^x = 1 + x + x²/2 + o(x²). Donc e^x − 1 − x = x²/2 + o(x²). Après division par x², le quotient tend vers 1/2.

Question 41Mathématiques

Le PGCD des entiers 84 et 126 est égal à :

  1. 84
  2. 42 Correct answer.
  3. 21
  4. 14

Explanation

On décompose 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs affectés du plus petit exposant, soit 2 × 3 × 7 = 42.

Question 42Mathématiques

La fonction f est définie sur ℝ par f(x) = x e^x. Sa dérivée f'(x) est égale à :

  1. e^x(x − 1)
  2. x e^x
  3. e^x(x + 1) Correct answer.
  4. e^x

Explanation

On applique la formule de dérivation d'un produit : (uv)' = u'v + uv', avec u(x) = x et v(x) = e^x. On obtient f'(x) = 1 × e^x + x × e^x = e^x(x + 1).

Question 43Mathématiques

Dans ℝ², on considère le système { x + y = 1 ; 2x + 2y = m }, où m est un réel. Ce système admet une infinité de solutions si et seulement si :

  1. m = 1
  2. m = 4
  3. m = 0
  4. m = 2 Correct answer.

Explanation

La deuxième équation équivaut à 2(x + y) = m, donc à x + y = m/2. Elle est compatible avec x + y = 1, avec une infinité de solutions, exactement lorsque m/2 = 1, c'est-à-dire m = 2.

Question 44Mathématiques

On lance quatre fois de suite une pièce équilibrée, de façon indépendante. La probabilité d'obtenir exactement deux fois « pile » est :

  1. 1/2
  2. 5/8
  3. 1/4
  4. 3/8 Correct answer.

Explanation

Le nombre de « pile » suit une loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 1/2. La probabilité cherchée est C(4,2)(1/2)²(1/2)² = 6/16 = 3/8.

Question 45Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = (ln x)/x. La valeur maximale de f sur ]0 ; +∞[ est :

  1. 0
  2. e
  3. 1
  4. 1/e Correct answer.

Explanation

Sur ]0 ; +∞[, f est dérivable et f'(x) = (1 − ln x)/x². Le signe de f' montre que f croît jusqu'à x = e puis décroît ; le maximum vaut donc f(e) = 1/e.

Question 46Mathématiques

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les vecteurs u(2;3) et v(1;−1). Le produit scalaire u·v est égal à :

  1. −1 Correct answer.
  2. 5
  3. 1
  4. −5

Explanation

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs u(x;y) et v(x';y') se calcule par la formule xx'+yy'. Pour u(2;3) et v(1;−1), on obtient 2×1+3×(−1)=2−3=−1.

Question 47Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=x³+x. La fonction f est :

  1. ni paire ni impaire
  2. paire
  3. impaire Correct answer.
  4. périodique de période π

Explanation

Pour tout réel x, f(−x)=(−x)^3+(−x)=−x^3−x=−(x^3+x)=−f(x). La courbe est donc symétrique par rapport à l'origine, ce qui caractérise exactement une fonction impaire.

Question 48Mathématiques

Dans ℤ, l'ensemble des entiers x tels que 5x ≡ 3 (mod 7) est l'ensemble des x congrus à :

  1. 4
  2. 3
  3. 5
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Comme 5×3=15≡1 (mod 7), l'inverse de 5 modulo 7 est 3. En multipliant les deux membres de la congruence par 3, on obtient x≡3×3=9≡2 (mod 7).

Question 49Mathématiques

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, le cercle d'équation x²+y²−4x+2y−4=0 a pour centre et rayon :

  1. centre (−2;1), rayon 3
  2. centre (2;−1), rayon 9
  3. centre (2;−1), rayon 3 Correct answer.
  4. centre (4;−2), rayon 2

Explanation

On écrit x²−4x=(x−2)²−4 et y²+2y=(y+1)²−1. L'équation devient alors (x−2)²+(y+1)²=9, donc le centre est (2;−1) et le rayon vaut √9=3.

Question 50Mathématiques

La limite, lorsque x tend vers +∞, de √(x²+x) − x est égale à :

  1. 1/2 Correct answer.
  2. +∞
  3. 0
  4. 1

Explanation

On multiplie par la quantité conjuguée : √(x²+x)−x = x/(√(x²+x)+x). Pour x>0, en divisant numérateur et dénominateur par x, on obtient 1/(√(1+1/x)+1), dont la limite en +∞ vaut 1/2.