Mathématiques - analyse, algèbre linéaire et probabilités
L'épreuve de mathématiques du concours passerelle de l'ENSAM Rabat (Université Mohammed V de Rabat) vérifie que le candidat, issu d'un DEUG, d'un DUT/BTS ou d'une classe préparatoire, maîtrise les outils de calcul et de raisonnement attendus en cycle ingénieur : analyse (limites, continuité, dérivabilité, développements limités, intégration, équations différentielles), algèbre linéaire (matrices, déterminants, systèmes, diagonalisation) et probabilités de base. Les questions sont souvent courtes, et le barème sanctionne l'erreur de calcul autant que l'absence de justification.
Ce qu'il faut savoir refaire
- Limites et équivalents : connaître les DL usuels de e^x, ln(1+x), sin x, cos x et (1+x)^α à l'ordre 2 ou 3.
- Intégration : primitives, intégration par parties, changement de variable, intégrales simples à paramètre.
- Algèbre : rang, déterminant, inverse, valeurs propres ; une matrice n×n est diagonalisable si elle a n valeurs propres distinctes.
- Équations différentielles linéaires du premier et du second ordre à coefficients constants.
Exemple rédigé
Calculer lim_{x→0} (ln(1+x) − x)/x². On écrit le DL à l'ordre 2 au voisinage de 0 : ln(1+x) = x − x²/2 + o(x²). Donc ln(1+x) − x = −x²/2 + o(x²). En divisant par x², on obtient −1/2 + o(1) : la limite vaut −1/2. Point de méthode : un DL à l'ordre du dénominateur suffit ici ; développer à l'ordre 3 serait inutile.
Pièges qui coûtent des points
- Conclure une limite par « 0/0 » sans lever l'indétermination.
- Oublier le domaine de validité du DL : x→0, et non x→∞.
- Confondre condition nécessaire et suffisante : valeurs propres distinctes ⇒ diagonalisable, mais la réciproque est fausse.
- Négliger la constante d'intégration dans une équation différentielle.
- Écrire un déterminant sans vérifier le signe des cofacteurs.