Dimensionnement d'un silo de paddy à Niono
La coopérative rizicole de Niono doit stocker 60 tonnes de paddy, soit environ 95 m³, dans un silo métallique. Le modèle retenu est un cylindre vertical de rayon r surmonté d'un cône de hauteur fixe 1,5 m. Le hangar interdit de dépasser 6 m de hauteur totale, et le sol ne permet pas un rayon inférieur à 1,5 m ni supérieur à 3 m. Le paddy est supposé remplir le cylindre et le cône. Le bureau d'études chiffre la tôle latérale à 12 000 FCFA/m², la tôle du toit conique à 18 000 FCFA/m² et le fond à 8 000 FCFA/m². Un fournisseur propose 10 % de remise sur la tôle du toit pour toute commande où r ≥ 3 m. Le trésorier veut le devis le moins cher possible, mais le président rappelle que le silo doit rester stable au vent, étanche et facile à charger au sommet. Le maçon signale par ailleurs que le raccord de remplissage et l'évent occupent déjà 0,15 m sous le point haut.
1. Montrer que le volume imposé et la contrainte de hauteur réduisent le rayon admissible à un intervalle [r_min ; 3]. Calculer r_min à 0,01 m près et expliquer l'effet de la hauteur du cône.
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Le volume utile s'écrit V = πr²h + (1/3)πr²(1,5) = πr²(h + 0,5), où h est la hauteur du cylindre. En imposant V = 95 m³ : h = 95/(πr²) − 0,5. La hauteur totale vaut h + 1,5, donc la contrainte h + 1,5 ≤ 6 équivaut à h ≤ 4,5 m. D'où 95/(πr²) − 0,5 ≤ 4,5, soit 95/(πr²) ≤ 5, c'est-à-dire r² ≥ 95/(5π) ≈ 6,047 et r ≥ 2,46 m. L'intervalle admissible est donc [2,46 ; 3,00]. Le cône « consomme » 1,5 m des 6 m disponibles : plus il est haut, plus le cylindre est écrasé et plus r_min augmente. À la borne r = 3 m, h ≈ 2,86 m et la hauteur totale n'est que de 4,36 m : la contrainte haute ne limite pas le projet, c'est bien la hauteur qui fixe la borne basse. Il faut enfin signaler que r = 2,46 m sature la hauteur à 6,00 m et ne laisse aucune place au raccord de remplissage : le rayon réellement constructible est légèrement supérieur.
2. Calculer le coût total pour r = 2,50 m et pour r = 3,00 m, à 1 000 FCFA près. Le trésorier peut-il conclure que le plus grand rayon est le plus économique ?
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Le coût s'écrit C(r) = 12 000 × 2πrh + 18 000 × πr√(r² + 1,5²) + 8 000 × πr², avec h = 95/(πr²) − 0,5. Pour r = 2,50 m : h ≈ 4,34 m ; surface latérale ≈ 68,15 m², soit 817 800 FCFA ; ℓ = √(6,25 + 2,25) ≈ 2,916 m, surface du toit ≈ 22,90 m², soit 412 200 FCFA ; fond ≈ 19,63 m², soit 157 100 FCFA. Total ≈ 1 387 000 FCFA. Pour r = 3,00 m : h ≈ 2,86 m ; latérale ≈ 53,91 m², soit 646 900 FCFA ; toit ≈ 31,61 m², soit 568 900 FCFA ; fond ≈ 28,27 m², soit 226 200 FCFA. Total ≈ 1 442 000 FCFA. Le plus grand rayon coûte donc environ 55 000 FCFA de plus. La conclusion « plus large = moins cher » est fausse : agrandir la base raccourcit le cylindre, ce qui économise de la tôle latérale, mais alourdit le toit conique et le fond, dont les surfaces varient en r². Un calcul à r = 2,70 m donne d'ailleurs environ 1 397 000 FCFA, valeur intermédiaire : le coût n'est pas monotone sur un intervalle quelconque, et il faut l'étudier, pas l'extrapoler. Ici, le minimum se situe au voisinage de la borne basse.
3. La remise de 10 % sur le toit pour r = 3 m change-t-elle la décision ? Que doit peser le président en plus du prix ?
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La remise porte sur 568 900 FCFA, soit environ 56 900 FCFA. Le coût net à r = 3 m devient 1 442 000 − 56 900 ≈ 1 385 000 FCFA, contre 1 387 000 FCFA à r = 2,50 m : le gain est d'environ 2 000 FCFA, soit 0,1 %. C'est très inférieur à l'incertitude normale d'un devis (épaisseur de tôle, transport, main-d'œuvre de soudure), donc la remise ne suffit pas à trancher. Le président doit peser : la stabilité au vent (prise au vent du cylindre et du toit), la largeur des tôles à transporter jusqu'au site, la longueur de soudure, la fondation (un radier plus large coûte plus cher), et surtout la marge de sécurité en hauteur. À r = 2,46 m, la hauteur est exactement de 6,00 m et le raccord de remplissage de 0,15 m ne passe pas ; à r = 2,50 m, il reste environ 0,16 m, ce qui est juste acceptable. Un choix défendable est donc r ≈ 2,50 m : coût minimal réaliste, hauteur conforme avec une marge faible mais positive, et remise refusée car son effet est négligeable. Si le hangar pouvait être surélevé de 0,5 m, la borne basse reculerait et le coût baisserait davantage que la remise.