La beca, los pesos y el examen final
Una estudiante de sexto semestre quiere conservar una beca que exige dos condiciones simultáneas: promedio general de al menos 8.5 entre sus seis asignaturas y calificación mínima de 8.0 en cada una de ellas. En Matemáticas, la calificación del curso se forma con tres exámenes parciales de 20 % cada uno y un examen final de 40 %. Sus parciales fueron 7.2, 8.0 y 9.1. El reglamento del curso añade que se reprueba si el examen final es menor a 6.0, aunque el promedio ponderado resulte alto. En las otras cinco asignaturas su promedio ya es de 8.7 y no cambiará. Solo hay una aplicación del examen final, dentro de dos semanas, y en esa misma semana debe entregar un proyecto final de otra materia. Ella quiere saber, con números, qué tan exigente es la meta antes de decidir cómo repartir su tiempo de estudio.
1. Calcula la calificación mínima del examen final que necesita para obtener exactamente 8.0 en Matemáticas y para obtener 8.5. Verifica antes que los pesos del curso sumen 100 %.
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Verificación de pesos: 20 % + 20 % + 20 % + 40 % = 100 %. Correcto.
Aporte de los parciales: 0.20 × (7.2 + 8.0 + 9.1) = 0.20 × 24.3 = 4.86 puntos de la calificación final.
Para 8.0 en el curso: falta 8.0 − 4.86 = 3.14. Como el final pesa 0.40, la calificación necesaria es 3.14 ÷ 0.40 = 7.85.
Para 8.5 en el curso: falta 8.5 − 4.86 = 3.64. Entonces 3.64 ÷ 0.40 = 9.1.
Comprobación: con 7.85 → 4.86 + 0.40 × 7.85 = 4.86 + 3.14 = 8.00. Con 9.1 → 4.86 + 3.64 = 8.50.
Regla del 6.0: ambos escenarios la cumplen con holgura; la restricción del 6.0 solo sería relevante si su expectativa real cayera por debajo de ese valor, cosa que no ocurre con estos niveles.
2. Considerando que las otras cinco asignaturas promedian 8.7, determina la calificación mínima de Matemáticas que satisface las dos condiciones de la beca e indica cuál de las dos restricciones es la que manda.
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Restricción 1 (promedio general ≥ 8.5): (5 × 8.7 + M) ÷ 6 ≥ 8.5 → 43.5 + M ≥ 51 → M ≥ 7.5.
Restricción 2 (mínimo 8.0 por asignatura): M ≥ 8.0.
Ambas deben cumplirse a la vez, así que se toma la más exigente: M ≥ 8.0. La condición por asignatura es la que manda, porque 8.0 > 7.5.
Esto tiene una consecuencia práctica importante: si obtuviera 7.6 en Matemáticas, su promedio general sería (43.5 + 7.6) ÷ 6 = 51.1 ÷ 6 ≈ 8.52, es decir, cumpliría la primera condición, pero perdería la beca por la segunda. Un estudiante que solo mirara el promedio general subestimaría el riesgo.
Combinando con la tarea anterior: para M = 8.0 necesita 7.85 en el examen final. Ese es su umbral real, no el 8.5 del promedio general.
3. Si su expectativa realista para el examen final es 7.5, evalúa numéricamente la situación y explica qué margen debe recuperar. ¿Basta con "estudiar más"?
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Cálculo con 7.5 en el final: 4.86 + 0.40 × 7.5 = 4.86 + 3.0 = 7.86 en Matemáticas.
Verificación de la beca:
- Promedio general: (43.5 + 7.86) ÷ 6 = 51.36 ÷ 6 = 8.56, que sí cumple el mínimo de 8.5.
- Mínimo por asignatura: 7.86 < 8.0, no cumple.
Conclusión: con 7.5 pierde la beca aunque su promedio general parezca suficiente. El déficit en el curso es de 8.0 − 7.86 = 0.14 puntos; traducido al examen final, 0.14 ÷ 0.40 = 0.35 puntos más, es decir, necesita 7.85 en lugar de 7.5.
Ese es el margen real: menos de medio punto de examen. Por eso "estudiar más" no es un plan; el plan es asegurar 0.35 puntos adicionales en el instrumento que pesa 40 %. Dado que el proyecto de otra materia compite por el mismo tiempo, la decisión informada es asignar ese esfuerzo extra a los temas del examen final de Matemáticas donde la ganancia esperada por hora sea mayor, y no a subir asignaturas ya por encima de 8.0, que no le aportan nada a la condición que la está limitando.