A vedação do terreno da horta comunitária
A associação de estudantes da Escola Secundária de Murrupula quer vedar um terreno rectangular para uma horta comunitária. A escola autoriza o uso de um muro existente como um dos lados maiores, pelo que a rede será usada apenas nos outros três lados. Há 60 m de rede no armazém, mas 2 m serão reservados para uma abertura de acesso, ficando 58 m para vedar. O terreno deve ter frente para o pátio, e o muro só pode ocupar, no máximo, 25 m dessa frente, por causa de uma árvore e de um poste de electricidade. Os estudantes querem a maior área possível para cultivar couve e tomate, e já surgiram duas propostas: 17 m por 24 m e 20 m por 18 m. O professor de Matemática pediu que a decisão fosse justificada com cálculos, e não por estimativa visual, antes da compra de sementes.
1. Modele a área do terreno em função de um dos lados e determine as dimensões que a maximizam, sem considerar ainda a restrição dos 25 m de muro. Mostre o raciocínio.
Read the worked answer
Seja x a medida dos dois lados perpendiculares ao muro e y o lado paralelo ao muro. Como a rede cobre três lados e se reservam 2 m para o portão:
2x + y = 58, logo y = 58 - 2x.
A área é A(x) = x(58 - 2x) = 58x - 2x², com 0 < x < 29.
É uma parábola voltada para baixo; o máximo ocorre no vértice:
x = -b/(2a) = 58/(2×2) = 14,5 m
y = 58 - 2(14,5) = 29 m
A = 14,5 × 29 = 420,5 m².
Conclusão: sem a restrição do muro, a solução óptima seria 14,5 m por 29 m. Porém, y = 29 m excede os 25 m autorizados, pelo que esta solução não é executável no terreno real.
2. Incorpore a restrição de que o muro só pode ocupar 25 m e avalie as duas propostas. Qual deve ser escolhida e porquê?
Read the worked answer
A restrição é y ≤ 25. Como y = 58 - 2x:
58 - 2x ≤ 25 → x ≥ 16,5 m.
A função A(x) = 58x - 2x² cresce até x = 14,5 m e decresce depois. No intervalo permitido x ≥ 16,5 m, ela é decrescente; logo, o máximo com a restrição está no extremo:
x = 16,5 m, y = 25 m, A = 412,5 m².
Agora as propostas:
- 17 m por 24 m: 2(17) + 24 = 58 m; área = 408 m². É viável e fica apenas 4,5 m² (cerca de 1,1%) abaixo do óptimo restrito.
- 20 m por 18 m: 2(20) + 18 = 58 m; área = 360 m². É viável, mas claramente inferior.
Decisão: escolher 17 m por 24 m, porque respeita o limite do muro, usa exactamente os 58 m de rede e tem área praticamente igual à solução óptima teórica. A diferença de 4,5 m² não compensa usar medidas fraccionárias na construção.
3. Um membro afirma que a proposta 17 m por 24 m é «matematicamente melhor» do que a solução 16,5 m por 25 m, porque usa números inteiros. Comente criticamente esta afirmação.
Read the worked answer
A afirmação tem uma parte correcta e outra incorrecta.
Parte correcta: se a construção exigir medidas inteiras em metros, a proposta 17 m por 24 m é, de facto, a melhor solução inteira. Com y = 58 - 2x e y ≤ 25, tem-se x ≥ 16,5; o menor inteiro é x = 17, que dá y = 24 e A = 408 m². Para x = 18, y = 22 e A = 396 m²; para x = 16, y = 26, o que viola o limite do muro. Logo, 17 × 24 é o óptimo inteiro viável.
Parte incorrecta: ela não é «melhor» do que 16,5 × 25 em termos matemáticos gerais; é apenas a melhor solução inteira. A solução 16,5 × 25 tem área 412,5 m², superior a 408 m². O erro está em confundir uma restrição prática de construção com uma superioridade matemática absoluta.
Julgamento final: aceitar 17 m por 24 m por razões práticas, mas reconhecer que se trata de uma aproximação inteira do óptimo, não de uma demonstração de que a área é máxima em todos os casos.