Stock de rechange d'un réseau de stations météo : un modèle de Poisson suffit-il ?
Une agence météorologique nationale exploite six stations automatiques le long de l'axe d'approche d'un aéroport international. Chaque station embarque le même module radio, dont le retour d'expérience sur 60 000 heures-station ne recense que quatre défaillances, toutes survenues hors saison des orages. Le fournisseur unique livre en cinq jours ouvrés, soit 120 heures, et facture 400 000 FCFA par module ; le magasin compte 15 % par an de coût de possession du stock. La direction exige que la probabilité de manquer de module au moment d'une panne reste inférieure à 5 %. Le chef de maintenance propose de n'acheter qu'un seul exemplaire, sur la base d'un processus de Poisson homogène. Un technicien objecte que deux des quatre pannes sont survenues la même semaine, juste après un orage, et que les six stations partagent le même pylône de télécommunication ainsi que le même type de protection foudre. L'enveloppe annuelle de maintenance est plafonnée à 2,5 millions FCFA et une recommandation chiffrée est attendue avant la saison des pluies.
1. Sous l'hypothèse d'un processus de Poisson homogène, calculez la probabilité de rupture si l'on ne stocke qu'un seul module, puis concluez sur le respect de l'objectif de 5 %.
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1. Taux de défaillance λ = 4 / 60 000 = 6,67 × 10⁻⁵ panne par heure et par station.
2. Nombre attendu de pannes dans la fenêtre de risque La fenêtre de risque est le délai de réapprovisionnement, appliqué aux six stations : m = 6 × 120 × 6,67 × 10⁻⁵ = 0,048 panne attendue.
3. Loi de Poisson de paramètre m = 0,048 P(N = 0) = e^(−0,048) = 0,9531 P(N = 1) = 0,048 × 0,9531 = 0,0458 P(N ≥ 2) = 1 − (0,9531 + 0,0458) = 0,0011
Conclusion. Avec un seul module en stock, la rupture exige deux pannes ou plus dans la même fenêtre de cinq jours : probabilité 0,11 %, très inférieure à l'objectif de 5 %. Le raisonnement du chef de maintenance est donc arithmétiquement juste, et le coût de possession d'un module (400 000 × 15 % = 60 000 FCFA/an) est négligeable devant le risque évité. Deux réserves à formuler explicitement : le stock doit être essayé avant mise en magasin (un module dormant depuis deux ans n'est pas un module disponible), et le calcul suppose un remplacement instantané, ce qui n'est pas le cas réel puisque le module consommé n'est remplacé qu'au bout de 120 h.
2. Le technicien conteste l'hypothèse d'indépendance. Quantifiez l'incertitude d'échantillonnage sur λ, puis évaluez si elle suffit à expliquer son objection.
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Incertitude d'échantillonnage. λ est estimé sur quatre événements seulement. L'intervalle de confiance exact à 95 % d'une intensité de Poisson observée quatre fois vaut [χ²₀,₀₂₅(8)/2 ; χ²₀,₉₇₅(10)/2] / 60 000 h, soit [1,09 ; 10,24] événements pour 60 000 h, donc λ_max ≈ 1,7 × 10⁻⁴ h⁻¹ : la borne haute vaut environ 2,5 fois l'estimation ponctuelle. m_max = 6 × 120 × 1,7 × 10⁻⁴ = 0,123 P(N ≥ 2) = 1 − e^(−0,123)(1 + 0,123) = 0,0069, soit 0,7 %.
Cette incertitude ne renverse pas la conclusion : même à la borne haute, on reste sept fois sous le seuil de 5 %. L'objection du technicien ne porte donc pas sur l'échantillonnage.
Le vrai point est l'indépendance. Poisson suppose des défaillances indépendantes à taux constant. Or deux pannes la même semaine, juste après un orage, sur six stations qui partagent pylône et protection foudre, décrivent un mode commun : un seul coup de foudre peut mettre les six modules en panne simultanément. Ce risque n'est pas représentable par une loi d'espérance 0,048 ; il est de nature « tout ou rien ». Augmenter le stock ne réduit pas la probabilité de l'événement, seulement le temps de reprise. La réponse correcte est donc double : traiter la cause (parafoudre, mise à la terre, alimentation séparée) et dimensionner le stock pour le mode commun, sans raffiner davantage le calcul Poisson.
3. Rédigez la recommandation finale au directeur, en tenant compte du fait qu'un module consommé n'est remplacé qu'au bout de 120 heures.
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Recommandation : deux modules en stock, plus une action sur la cause commune.
1. Pourquoi deux et non un. Le calcul en stock brut suppose un remplacement instantané. En réalité, dès la première panne, le module de stock part sur site et le magasin reste vide pendant les 120 h de livraison. Une seconde panne dans cette fenêtre provoque la rupture, avec une probabilité 1 − e^(−0,048) ≈ 4,7 % : on frôle le seuil de 5 % au lieu de rester à 0,11 %. Deux modules ramènent ce risque sous 0,1 % et couvrent aussi le cas d'un module neuf défectueux.
2. Coût. 2 × 400 000 = 800 000 FCFA d'investissement, 120 000 FCFA/an de possession : compatible avec l'enveloppe de 2,5 M FCFA.
3. Traiter le mode commun, priorité absolue. Un troisième module ne servirait à rien si les six partent en même temps : contrôle et remplacement des parafoudres du pylône partagé, vérification des prises de terre, achat des prochains lots chez deux fournisseurs différents, essai de brûlage avant mise en stock.
4. Aléa résiduel. Convention de prêt avec le service météorologique voisin, et révision annuelle de λ en séparant pannes aléatoires et pannes d'origine orageuse, faute de quoi le modèle dérivera silencieusement.