Autonomie d'un site relais VHF isolé : Peukert, température et section de câble
Un site relais VHF isolé, alimenté par un champ photovoltaïque et un parc de batteries au plomb, consomme en permanence 9 A sur un bus continu de 24 V, soit 216 W. Le parc actuel compte quatre monoblocs de 12 V / 200 Ah câblés en 2S2P, soit 24 V / 400 Ah au régime C10, avec un exposant de Peukert n = 1,25 donné par le constructeur et I10 = 40 A. Le local batterie, mal ventilé, reste à 35 °C ; le constructeur annonce une durée de vie divisée par deux tous les 10 °C au-dessus de 25 °C. Le cahier des charges impose 72 heures d'autonomie sans production solaire, avec une profondeur de décharge limitée à 50 %. Le câble d'alimentation, en cuivre de 6 mm², relie le local batterie au local technique sur 40 mètres aller. Sur site, l'ensoleillement équivalent est de 4,5 heures par jour en saison sèche et le rendement global de la chaîne PV–régulateur–batterie est estimé à 70 %. Un relevé précédent signale une chute de tension gênante au démarrage de l'émetteur.
1. Calculez l'autonomie réelle du parc actuel à 9 A en tenant compte de l'effet Peukert et de la profondeur de décharge limitée, puis comparez au cahier des charges.
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Autonomie Peukert. La loi s'écrit t = H × (C / (I·H))^n avec H = 10 h, C = 400 Ah, I = 9 A : t = 10 × (400 / 90)^1,25 = 10 × (4,444)^1,25. ln 4,444 = 1,4917 ; × 1,25 = 1,8646 ; e^1,8646 = 6,45, donc t ≈ 64,5 h pour une décharge totale à 100 %. À 50 % de profondeur de décharge : 32 h utiles.
Écart au cahier des charges. 32 h contre 72 h exigées, soit un facteur 2,25. Ce n'est pas un problème de réglage ou de mise en service : le parc est structurellement sous-dimensionné d'un facteur supérieur à deux.
Effet de la température. À 35 °C, la capacité disponible sur un cycle court ne progresse pas sensiblement, mais la durée de vie est divisée par deux tous les 10 °C au-dessus de 25 °C, donc par quatre ici. Le parc atteindra 80 % de sa capacité nominale - seuil de fin de vie - bien avant l'horizon attendu, ce qui dégradera encore l'autonomie d'environ 20 %. Autrement dit, le calcul ci-dessus décrit le meilleur cas, à l'état neuf : l'autonomie réelle en milieu de vie sera plus proche de 25 h.
Diagnostic. Deux causes distinctes se cumulent : un dimensionnement énergétique insuffisant et une conception thermique qui divise la durée de vie par quatre. Traiter la seconde est moins coûteux que traiter la première.
2. Dimensionnez le parc et le champ photovoltaïque nécessaires pour tenir les 72 heures, puis vérifiez la section du câble d'alimentation.
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Parc batterie. Il faut 72 h utiles à 9 A, soit une décharge de 72 / 0,5 = 144 h avant décharge totale : 144 = 10 × (C/90)^1,25 → (14,4)^0,8 = C/90 ; ln 14,4 = 2,667 ; × 0,8 = 2,134 ; e^2,134 = 8,45 → C = 760 Ah. En intégrant la fin de vie à 80 % de capacité : 760 / 0,8 ≈ 950 Ah. On retient 24 V / 1 000 Ah, soit dix monoblocs de 12 V / 200 Ah en 2S5P.
Champ photovoltaïque. Énergie journalière : 24 V × 9 A × 24 h = 5 184 Wh. Puissance crête : 5 184 / (4,5 h × 0,70) = 1 646 Wp, soit 1 700 Wp installés. Il faut y ajouter l'énergie de recharge du déficit après une séquence sans soleil (72 h × 216 W ≈ 15,5 kWh), ce qui justifie un régulateur MPPT, un courant de charge limité et, en pratique, un appoint (groupe ou délestage) plutôt que 3 jours de batteries supplémentaires.
Section de câble. Chute admissible : 3 % de 24 V = 0,72 V. Longueur totale de conducteur (aller-retour) : 80 m. S = ρ·L·I / ΔV = 0,0175 × 80 × 9 / 0,72 = 17,5 mm², donc 25 mm² normalisé. Avec le 6 mm² actuel : R = 0,0175 × 80 / 6 = 0,233 Ω, soit 2,1 V de chute à 9 A, c'est-à-dire 8,8 % de la tension nominale. C'est inacceptable en régime établi, et c'est surtout l'explication de la chute observée au démarrage : l'appel de courant de l'émetteur produit un à-coup de tension qui peut provoquer un redémarrage en boucle.
3. Le directeur hésite entre doubler le parc et agir autrement. Rédigez un avis motivé en discutant la validité du modèle de Peukert et l'arbitrage économique.
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Limites du modèle. Peukert est une formule empirique ajustée autour du régime C10 ; à 9 A on est à C/44, très loin du domaine d'ajustement. À ces régimes très lents, la capacité réelle plafonne et la loi surestime souvent l'autonomie disponible : le résultat de 64,5 h doit être lu comme une borne haute, et un abattement supplémentaire de 10 à 20 % est justifié. Le modèle suppose aussi un courant constant et une température stable, alors que l'émetteur appelle du courant par impulsions.
Arbitrage. Doubler le parc coûte le prix de dix monoblocs plus le renouvellement à trois ans, puisque le local à 35 °C divise la durée de vie par quatre. Trois actions se comparent :
- Traiter le local batterie (ventilation, ombrage, isolation, déplacement du parc loin du régulateur) : ramener le local vers 25–30 °C double la durée de vie pour un coût de l'ordre du million FCFA. C'est le meilleur rapport efficacité/coût.
- Réduire la charge de base (émetteur en veille programmée la nuit, éclairage basse consommation) : chaque ampère retiré gagne plusieurs heures d'autonomie et se répercute sur le PV.
- Dimensionner le parc à 1 000 Ah et le PV à 1 700 Wp, comme calculé, avec appoint pour la saison des pluies.
Avis. Le parc doit être redimensionné, mais pas seul : sans traitement thermique, le nouveau parc durera trois ans et le problème se reposera à l'identique. L'ordre d'exécution proposé est : local batterie, puis réduction de charge, puis parc et PV, puis appoint. Le câble en 25 mm² est à remplacer sans attendre, quel que soit le choix retenu.