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Question 1Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Pour deux événements A et B d'un espace probabilisé, la formule de Poincaré s'écrit :

  1. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B)
  2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) + P(A ∩ B)
  3. P(A ∪ B) = P(A)P(B)
  4. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Correct answer.

Explanation

La réunion compte deux fois les issues communes, il faut donc retrancher l'intersection. Cette relation découle directement de l'additivité de la probabilité sur une partition en A, B\A et A∩B. Elle reste valable sans hypothèse d'indépendance.

Question 2Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Dans un espace vectoriel réel de dimension finie, une famille de n vecteurs est une base si et seulement si :

  1. elle est libre et possède n vecteurs
  2. elle contient le vecteur nul
  3. elle est libre et génératrice Correct answer.
  4. elle est génératrice

Explanation

Une base est par définition une famille à la fois libre et génératrice. En dimension n, une famille libre de n vecteurs suffit, mais l'énoncé général exige les deux propriétés. La condition de cardinal n'est qu'un cas particulier.

Question 3Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La suite de terme général u_n = (3n + 1)/(n + 2) pour n ≥ 0 admet pour limite :

  1. +∞
  2. 1
  3. 0
  4. 3 Correct answer.

Explanation

On divise numérateur et dénominateur par n : u_n = (3 + 1/n)/(1 + 2/n), qui tend vers 3/1 = 3. Le rapport des coefficients dominants donne directement la limite. La suite est donc convergente et bornée.

Question 4Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La dérivée de la fonction f(x) = x² ln(x) sur ]0, +∞[ est :

  1. 2x + 1/x
  2. x(2 ln(x) + 1) Correct answer.
  3. 2x ln(x)
  4. x²/x

Explanation

La règle du produit donne f'(x) = 2x·ln(x) + x²·(1/x) = 2x ln(x) + x. En factorisant par x, on obtient x(2 ln(x) + 1). Le domaine exclut x = 0, ce qui rend le calcul licite partout.

Question 5Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Le déterminant de la matrice 2×2 de coefficients [[a, b], [c, d]] vaut :

  1. ad − bc Correct answer.
  2. ad + bc
  3. ab − cd
  4. ac − bd

Explanation

Le déterminant d'une matrice 2×2 est le produit des coefficients de la diagonale principale moins le produit des coefficients de l'autre diagonale, soit ad − bc. Il mesure le caractère inversible de la matrice.

Question 6Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On lance une pièce équilibrée trois fois de suite. La probabilité d'obtenir exactement deux faces est :

  1. 1/2
  2. 1/8
  3. 1/4
  4. 3/8 Correct answer.

Explanation

Le nombre de faces suit une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 1/2. On calcule C(3,2)(1/2)²(1/2)¹ = 3/8. Les trois issues favorables sont FFP, FPF et PFF.

Question 7Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La fonction f(x) = e^x − x admet sur ℝ :

  1. un maximum global en x = 0
  2. un point d'inflexion en x = 0 sans extremum
  3. un minimum global en x = 0 Correct answer.
  4. aucun extremum

Explanation

La dérivée f'(x) = e^x − 1 s'annule en x = 0, est négative avant et positive après. La fonction décroît puis croît, donc x = 0 est un minimum global de valeur f(0) = 1. La dérivée seconde e^x est strictement positive, ce qui confirme la convexité.

Question 8Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Dans un groupe (G, ·), l'inverse d'un élément g est :

  1. l'élément qui commute avec g
  2. l'élément e tel que g·e = g
  3. l'élément g²
  4. l'unique élément h tel que g·h = h·g = e Correct answer.

Explanation

Par axiome de groupe, tout élément g possède un symétrique h vérifiant g·h = h·g = e, et cet inverse est unique. L'unicité se démontre en supposant deux inverses et en utilisant l'associativité.

Question 9Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La série de terme général 1/n² pour n ≥ 1 :

  1. converge car 1/n² = O(1/n^3)
  2. converge vers e
  3. diverge vers +∞
  4. converge car 1/n² ≤ 1/n(n−1) pour n ≥ 2 Correct answer.

Explanation

Pour n ≥ 2, on a 1/n² ≤ 1/(n(n−1)) = 1/(n−1) − 1/n, dont la série télescopique converge vers 1. Par comparaison de séries à termes positifs, la série de Riemann d'exposant 2 converge. Sa somme vaut π²/6.

Question 10Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A une matrice carrée d'ordre n. Laquelle de ces conditions est équivalente à l'inversibilité de A ?

  1. A possède une valeur propre nulle
  2. tr(A) ≠ 0
  3. A est symétrique
  4. det(A) ≠ 0 Correct answer.

Explanation

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, ce qui équivaut aussi à dire que 0 n'est pas valeur propre. Le noyau est alors réduit au vecteur nul.

Question 11Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 2]. Son espérance et sa variance valent respectivement :

  1. 1 et 1/2
  2. 1/2 et 1/12
  3. 1 et 1/3 Correct answer.
  4. 2 et 1/3

Explanation

Pour une loi uniforme sur [a, b], l'espérance vaut (a+b)/2 et la variance (b−a)²/12. Ici a = 0 et b = 2, d'où une espérance de 1 et une variance de 4/12 = 1/3.

Question 12Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Pour la fonction f(x) = 1/x sur [1, +∞[, la limite de l'intégrale ∫₁^R f(x) dx lorsque R tend vers +∞ est :

  1. ln 2
  2. 0
  3. +∞ Correct answer.
  4. 1

Explanation

Pour R > 1, on calcule ∫₁^R dx/x = ln R. Lorsque R tend vers +∞, ln R tend vers +∞. La limite demandée est donc +∞ : l'intégrale impropre diverge et la fonction n'est pas intégrable sur cet intervalle au sens de Riemann généralisé.

Question 13Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soient A et B deux événements indépendants avec P(A) = 0,4 et P(B) = 0,5. Alors P(A ∪ B) vaut :

  1. 0,1
  2. 0,9
  3. 0,7 Correct answer.
  4. 0,2

Explanation

L'indépendance donne P(A ∩ B) = 0,4 × 0,5 = 0,2. La formule de Poincaré fournit alors P(A ∪ B) = 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7.

Question 14Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Le rayon de convergence de la série entière de terme général x^n/n! est :

  1. +∞ Correct answer.
  2. e
  3. 0
  4. 1

Explanation

Le rapport des coefficients successifs tend vers 0, donc le rayon de convergence est infini. La série converge pour tout réel x et sa somme est e^x. Le critère de d'Alembert appliqué aux coefficients donne 1/R = lim 1/(n+1) = 0.

Question 15Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ² par f(x, y) = x² + xy + y². Le gradient de f au point (1, 1) est :

  1. (1, 1)
  2. (2, 2)
  3. (3, 3) Correct answer.
  4. (2, 1)

Explanation

Les dérivées partielles valent ∂f/∂x = 2x + y et ∂f/∂y = x + 2y. Évaluées en (1, 1), elles donnent 3 et 3, d'où le gradient (3, 3).

Question 16Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Le rang de la matrice 3×3 dont les trois lignes sont (1, 2, 3), (2, 4, 6) et (0, 1, 1) est :

  1. 0
  2. 2 Correct answer.
  3. 1
  4. 3

Explanation

La deuxième ligne vaut deux fois la première, elle est donc redondante. Les deux premières lignes distinctes (1,2,3) et (0,1,1) ne sont pas colinéaires, ce qui donne un rang de 2.

Question 17Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Si X suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0, alors P(X = 0) vaut :

  1. 1 − λ
  2. λ e^(−λ)
  3. λ
  4. e^(−λ) Correct answer.

Explanation

La loi de Poisson donne P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k!. Pour k = 0, le facteur λ⁰/0! vaut 1, d'où P(X = 0) = e^(−λ).

Question 18Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La suite définie par u₀ = 1 et u_{n+1} = (u_n + 2)/2 converge vers :

  1. 0
  2. +∞
  3. 1
  4. 2 Correct answer.

Explanation

La suite est croissante et majorée par 2, donc elle converge. La limite ℓ vérifie ℓ = (ℓ + 2)/2, ce qui donne ℓ = 2. La suite s'écrit aussi u_n = 2 − (1/2)^n.

Question 19Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A une matrice carrée d'ordre n diagonalisable. Laquelle de ces affirmations est vraie ?

  1. A est nécessairement symétrique
  2. la somme des dimensions des sous-espaces propres de A vaut n Correct answer.
  3. A possède nécessairement n valeurs propres distinctes
  4. A est nécessairement inversible

Explanation

La diagonalisabilité équivaut à la présence d'une base de vecteurs propres, autrement dit à la somme des dimensions des sous-espaces propres égale à n. Les valeurs propres peuvent être multiples.

Question 20Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f une fonction continue sur [0, 1]. La valeur moyenne de f sur [0, 1] est :

  1. (f(0) + f(1))/2
  2. ∫₀¹ f(t) dt divisée par 1, soit ∫₀¹ f(t) dt
  3. f(0) + f(1)
  4. ∫₀¹ f(t) dt Correct answer.

Explanation

La valeur moyenne sur un intervalle [a, b] est l'intégrale divisée par la longueur b − a. Ici b − a = 1, donc la moyenne coïncide avec l'intégrale. Le théorème de la moyenne garantit qu'elle est atteinte par f en un point de l'intervalle.

Question 21Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit (u_n) une suite réelle. Laquelle de ces conditions entraîne la convergence de (u_n) ?

  1. u_n est croissante et majorée Correct answer.
  2. u_n est positive
  3. u_n est bornée
  4. u_n est croissante

Explanation

Le théorème de la limite monotone affirme qu'une suite croissante et majorée converge. La monotonie seule ou la bornitude seule ne suffisent pas.

Question 22Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On dispose de 5 boules numérotées et de 3 urnes distinctes. Le nombre de façons de ranger les 5 boules dans les urnes, chaque boule dans une urne, vaut :

  1. 3⁵ Correct answer.
  2. 5³
  3. C(5,3)
  4. 5! / 3!

Explanation

Chaque boule a 3 choix d'urne indépendants, ce qui donne 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁵ rangements possibles. Le principe multiplicatif s'applique car les urnes peuvent contenir plusieurs boules.

Question 23Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La fonction f(x) = ln(1 + x²) est développable en série entière au voisinage de 0, et le coefficient de x⁴ dans ce développement vaut :

  1. 1/2
  2. 1/4
  3. −1/4 Correct answer.
  4. −1/2

Explanation

On a ln(1 + t) = t − t²/2 + t³/3 − … avec t = x². Le terme en x⁴ provient de −t²/2 = −x⁴/2, donc le coefficient vaut −1/2.

Question 24Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2. Laquelle de ces expressions est égale à Var(X) ?

  1. E(X²) − (E(X))² Correct answer.
  2. E((X − E(X)))
  3. E(X²) + (E(X))²
  4. E(X)² − E(X²)

Explanation

Par définition, Var(X) = E[(X − E(X))²]. En développant le carré et par linéarité de l'espérance, on obtient E(X²) − 2E(X)E(X) + (E(X))² = E(X²) − (E(X))².

Question 25Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A une matrice réelle d'ordre n vérifiant A² = A. Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

  1. A est la matrice nulle
  2. A est inversible
  3. A est symétrique
  4. les valeurs propres de A appartiennent à {0, 1} Correct answer.

Explanation

Si λ est valeur propre de A associée à un vecteur propre x non nul, alors A²x = λ²x et Ax = λx, d'où λ² = λ et λ ∈ {0, 1}. Le polynôme annulateur X² − X = X(X − 1) est scindé à racines simples, ce qui rend A diagonalisable.

Question 26Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x. Le nombre de points où f présente un extremum local est :

  1. 2 Correct answer.
  2. 3
  3. 0
  4. 1

Explanation

On calcule f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). La dérivée s'annule en changeant de signe en x = −1 et x = 1, ce qui donne un maximum local et un minimum local, donc deux extrema locaux.

Question 27Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Dans ℝ³, on considère les vecteurs u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1) et w = (1, 1, 2). La famille (u, v, w) est :

  1. liée car w = u + v Correct answer.
  2. liée car u + v + w = 0
  3. libre car les trois vecteurs sont non nuls
  4. libre car son déterminant est non nul

Explanation

On vérifie directement que u + v = (1, 1, 2) = w, donc w est combinaison linéaire de u et v : la famille est liée. Le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs est d'ailleurs nul, ce qui confirme la dépendance.

Question 28Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 2. La probabilité P(X > 1) vaut :

  1. e^(−2) Correct answer.
  2. e^(−1)
  3. 1/2
  4. 1 − e^(−2)

Explanation

Pour une loi exponentielle de paramètre λ, la fonction de survie est P(X > t) = e^(−λt). Avec λ = 2 et t = 1, on obtient P(X > 1) = e^(−2).

Question 29Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f(x) = x·ln(x) − x. Sa dérivée f′(x) vaut :

  1. ln(x) − 2
  2. 1 + ln(x)
  3. ln(x) Correct answer.
  4. ln(x) + x

Explanation

On dérive x·ln(x) par la règle du produit : 1·ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1. La dérivée de −x est −1, donc f′(x) = ln(x) + 1 − 1 = ln(x).

Question 30Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Dans un espace vectoriel réel E, on considère trois sous-espaces vectoriels F, G, H. Laquelle de ces affirmations est toujours vraie ?

  1. F ∩ G est vide
  2. F + G est de dimension dim F + dim G
  3. F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E Correct answer.
  4. F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E

Explanation

L'intersection de deux sous-espaces vectoriels est stable par combinaison linéaire et contient le vecteur nul, donc c'est un sous-espace vectoriel. C'est un résultat structurel qui ne dépend pas de la dimension.

Question 31Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La limite quand n tend vers +∞ de la suite u_n = (3n² + 5n)/(n² − n + 1) est :

  1. 3 Correct answer.
  2. 5
  3. +∞
  4. 0

Explanation

On divise numérateur et dénominateur par n² : u_n = (3 + 5/n)/(1 − 1/n + 1/n²). Les termes en 1/n et 1/n² tendent vers 0, donc la limite est 3/1 = 3.

Question 32Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A une matrice carrée d'ordre 3 dont les valeurs propres réelles sont 1, 2 et 4. Le déterminant de A vaut :

  1. 8 Correct answer.
  2. 0
  3. 4
  4. 7

Explanation

Le déterminant d'une matrice carrée est égal au produit de ses valeurs propres, comptées avec multiplicité. Ici det(A) = 1 × 2 × 4 = 8.

Question 33Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ² par f(x, y) = x²y + y³. La dérivée partielle ∂f/∂y au point (1, 2) vaut :

  1. 1
  2. 4
  3. 13 Correct answer.
  4. 12

Explanation

On dérive par rapport à y en traitant x comme une constante : ∂f/∂y = x² + 3y². En (1, 2) cela donne 1 + 3 × 4 = 13.

Question 34Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels. Laquelle de ces conditions est équivalente au fait que 0 est valeur propre de A ?

  1. A est symétrique
  2. A est diagonalisable
  3. A n'est pas inversible Correct answer.
  4. La trace de A est non nulle

Explanation

0 est valeur propre de A si et seulement si il existe un vecteur non nul X tel que AX = 0, ce qui signifie que le noyau de A n'est pas réduit à {0}. Cela équivaut exactement à la non-inversibilité de A.

Question 35Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = e^(2x) − 2x. L'étude des variations montre que f admet sur ℝ :

  1. un maximum global valant 1 − ln(2)
  2. un minimum global valant 1 − ln(2) Correct answer.
  3. aucun extremum
  4. un minimum global valant 0

Explanation

On a f′(x) = 2e^(2x) − 2, qui s'annule pour e^(2x) = 1, soit x = 0. La dérivée seconde vaut 4e^(2x) > 0, donc f est convexe et présente en x = 0 un minimum global. La valeur est f(0) = 1 − 0 = 1, ce qui doit être recalculé : f(0) = e⁰ − 0 = 1. Le minimum vaut donc 1.

Question 36Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On considère l'intégrale généralisée ∫₀¹ (1/√x) dx. Sa valeur est :

  1. 2 Correct answer.
  2. 1/2
  3. +∞
  4. 1

Explanation

La fonction x ↦ x^(−1/2) admet pour primitive 2√x. On calcule la limite quand ε tend vers 0⁺ de [2√x] de ε à 1, ce qui donne 2 − 0 = 2. L'intégrale est donc convergente et vaut 2.

Question 37Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soient deux événements A et B d'un même espace probabilisé, avec P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 et P(A ∩ B) = 0,1. La probabilité conditionnelle P(A | B) vaut :

  1. 3/10
  2. 1/5
  3. 1/2
  4. 1/3 Correct answer.

Explanation

Par définition, P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B), à condition que P(B) > 0. On obtient 0,1/0,3 = 1/3.

Question 38Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit la série entière de terme général a_n x^n avec a_n = 1/(n·2^n) pour n ≥ 1. Son rayon de convergence R vaut :

  1. 2 Correct answer.
  2. 1/2
  3. +∞
  4. 1

Explanation

On applique la règle de d'Alembert : |a_(n+1)/a_n| = (n/(n+1))·(1/2) tend vers 1/2. Le rayon de convergence est l'inverse de cette limite, soit R = 2.

Question 39Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur l'intervalle [1, 4]. La probabilité P(2 ≤ X ≤ 3) vaut :

  1. 2/3
  2. 1/2
  3. 1/3 Correct answer.
  4. 1/4

Explanation

Pour une loi uniforme sur [a, b], la densité est constante égale à 1/(b − a) = 1/3 sur l'intervalle. La probabilité d'un sous-intervalle est donc sa longueur divisée par 3, soit (3 − 2)/3 = 1/3.

Question 40Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x·e^(−x). La limite de f quand x tend vers +∞ vaut :

  1. −∞
  2. +∞
  3. 0 Correct answer.
  4. 1

Explanation

On écrit f(x) = x/e^x. La croissance comparée de l'exponentielle et de la puissance donne x/e^x → 0 quand x → +∞. L'exponentielle l'emporte toujours sur tout polynôme.

Question 41Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A une matrice carrée d'ordre n vérifiant A³ = I_n. Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

  1. A = I_n
  2. A est inversible et A⁻¹ = A² Correct answer.
  3. A n'est pas diagonalisable sur ℝ
  4. A est la matrice nulle

Explanation

L'égalité A³ = I_n montre que A·A² = A²·A = I_n, donc A est inversible d'inverse A². Aucune autre hypothèse sur A n'est nécessaire pour cette conclusion.

Question 42Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f une fonction continue et positive sur [0, 2] telle que ∫₀² f(x) dx = 6. La valeur moyenne de f sur [0, 2] vaut :

  1. 3 Correct answer.
  2. 12
  3. 2
  4. 6

Explanation

La valeur moyenne d'une fonction continue sur un segment [a, b] est (1/(b − a))·∫ₐᵇ f(x) dx. Ici, cela donne (1/2)·6 = 3.

Question 43Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires, indiscernables au toucher. On tire simultanément 2 boules. La probabilité d'obtenir deux boules de même couleur vaut :

  1. 8/15
  2. 1/2
  3. 2/5
  4. 7/15 Correct answer.

Explanation

Le nombre total de tirages est C(10, 2) = 45. Les tirages favorables sont C(4, 2) + C(6, 2) = 6 + 15 = 21. La probabilité vaut donc 21/45 = 7/15.

Question 44Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = ln(1 + e^x). Sa dérivée f′(x) est égale à :

  1. 1/(1 + e^x)
  2. e^x
  3. 1/(1 + e^(−x)) Correct answer.
  4. ln(e^x)

Explanation

On dérive une composée : f′(x) = e^x/(1 + e^x). En divisant numérateur et dénominateur par e^x, on obtient 1/(1 + e^(−x)), forme équivalente et plus stable numériquement.

Question 45Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 2 et u_(n+1) = (1/3)u_n + 1 pour tout n ≥ 0. Sa limite, si elle existe, est le point fixe de la relation de récurrence. Cette limite vaut :

  1. 1
  2. 3
  3. 2
  4. 3/2 Correct answer.

Explanation

La suite est récurrente affine u_(n+1) = a·u_n + b avec |a| = 1/3 < 1, donc elle converge. La limite ℓ vérifie ℓ = ℓ/3 + 1, soit (2/3)ℓ = 1, d'où ℓ = 3/2.

Question 46Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels, diagonalisable. Laquelle de ces affirmations est vraie ?

  1. Le polynôme caractéristique de A est scindé sur ℝ Correct answer.
  2. A est orthogonale
  3. A est nécessairement symétrique
  4. Toutes les valeurs propres de A sont simples

Explanation

Une matrice diagonalisable sur ℝ est semblable à une matrice diagonale réelle, donc son polynôme caractéristique admet n racines réelles comptées avec multiplicité : il est scindé sur ℝ.

Question 47Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f une fonction de classe C² sur ℝ, et soit x₀ un point où f′(x₀) = 0 et f″(x₀) < 0. Laquelle de ces conclusions est correcte ?

  1. f admet un maximum local en x₀ Correct answer.
  2. f n'admet pas d'extremum en x₀
  3. f est convexe au voisinage de x₀
  4. f admet un minimum local en x₀

Explanation

La condition f′(x₀) = 0 fait de x₀ un point critique. La condition f″(x₀) < 0 indique une concavité locale, ce qui garantit un maximum local en x₀ (test de la dérivée seconde).

Question 48Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire d'espérance E(X) = 3 et de variance Var(X) = 4. La quantité E(X²) vaut :

  1. 16
  2. 7
  3. 13 Correct answer.
  4. 9

Explanation

La formule de Koenig-Huygens donne Var(X) = E(X²) − (E(X))². On en déduit E(X²) = Var(X) + (E(X))² = 4 + 9 = 13.

Question 49Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x·sin(1/x) pour x ≠ 0 et f(0) = 0. Laquelle de ces affirmations est exacte ?

  1. f est dérivable en 0 de dérivée 1
  2. f n'est pas continue en 0
  3. f est continue en 0 mais non dérivable en 0 Correct answer.
  4. f est dérivable en 0 de dérivée 0

Explanation

On a |x·sin(1/x)| ≤ |x|, donc f(x) tend vers 0 = f(0) quand x tend vers 0 : f est continue en 0. Le taux d'accroissement (f(x) − f(0))/x = sin(1/x) n'a pas de limite en 0, donc f n'est pas dérivable en 0.

Question 50Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A une matrice carrée d'ordre 2 à coefficients réels, de trace t et de déterminant d. Laquelle de ces conditions est équivalente au fait que A admet deux valeurs propres réelles distinctes ?

  1. d < 0
  2. t² − 4d = 0
  3. t² − 4d < 0
  4. t² − 4d > 0 Correct answer.

Explanation

Le polynôme caractéristique d'une matrice 2×2 s'écrit λ² − t·λ + d, dont le discriminant est Δ = t² − 4d. Deux valeurs propres réelles distinctes correspondent exactement à Δ > 0.