Mathématiques : analyse, algèbre, probabilités
Ce que l'épreuve évalue
L'épreuve de mathématiques du concours d'ingénieur de l'EAMAC vérifie la solidité du calcul, la rigueur de la rédaction et la capacité à modéliser. Elle s'organise autour de trois blocs qui se retrouvent ensuite dans les autres épreuves scientifiques.
Les trois blocs
- Analyse : suites (convergence, suites récurrentes u(n+1)=f(u(n)), suites adjacentes), limites, continuité, dérivabilité, développements limités, intégration par parties et changement de variable, équations différentielles linéaires du premier et du second ordre à coefficients constants.
- Algèbre : espaces vectoriels, familles libres et génératrices, dimension, applications linéaires et matrices, déterminants, diagonalisation, systèmes linéaires résolus par pivot de Gauss.
- Probabilités : dénombrement, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, Bayes, variables aléatoires discrètes et continues, espérance, variance, lois binomiale, de Poisson, uniforme, exponentielle, normale.
Exemple rédigé (Bayes)
Un test a une sensibilité de 95 % et une spécificité de 90 % ; la prévalence est de 1 %. Quelle est la probabilité qu'un sujet déclaré positif soit réellement malade ?
On note M l'événement « malade » et T+ le test positif. P(M)=0,01 ; P(T+|M)=0,95 ; P(T+|non M)=0,10.
P(T+) = 0,95×0,01 + 0,10×0,99 = 0,0095 + 0,099 = 0,1085.
P(M|T+) = 0,0095 / 0,1085 ≈ 0,0876, soit environ 8,8 %.
Le calcul vaut autant que le commentaire : un test « fiable à 95 % » ne donne pas 95 % de certitude, car la prévalence domine. Ce type de remarque critique est explicitement valorisé.
Pièges qui coûtent des points
- Confondre indépendance et incompatibilité : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
- Écrire E(X²) à la place de (E(X))² dans le calcul de la variance.
- Affirmer la convergence d'une série sans critère explicite (comparaison, équivalent, d'Alembert).
- Diagonaliser une matrice sans vérifier que la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut n.
- Oublier le signe négatif lors d'une intégration par parties.