Dimensionnement d'une parcelle maraîchère clôturée
Une coopérative maraîchère de Tillabéri dispose d'une parcelle rectangulaire bordée par le fleuve Niger. Le côté longeant le fleuve ne sera pas clôturé, mais il faut y installer des poteaux renforcés coûtant 2 000 FCFA par mètre. Les trois autres côtés, clôturés avec du grillage ordinaire, reviennent à 3 000 FCFA par mètre. Le budget total disponible pour la clôture est de 180 000 FCFA. La coopérative veut maximiser la surface cultivable, tout en gardant une largeur d'au moins 10 m pour permettre le passage d'une motopompe. Le président affirme qu'il faut choisir un carré, car « un carré a toujours la plus grande surface ». Le trésorier propose plutôt de réduire le budget à 150 000 FCFA pour acheter des semences, ce qui diminuerait la clôture. Avant de décider, le comité veut connaître les dimensions optimales et l'effet d'une réduction du budget.
1. Déterminer les dimensions de la parcelle qui maximisent la surface clôturée avec le budget de 180 000 FCFA, puis calculer cette surface.
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Posons x = longueur le long du fleuve (m) et y = largeur (m). Le coût est 2 000x + 2×3 000y = 180 000, soit x + 3y = 90, donc x = 90 − 3y. La surface est S(y)=y(90−3y)=90y−3y². La dérivée vaut 90−6y ; elle s'annule pour y=15 m. Alors x=90−45=45 m. La contrainte y≥10 est respectée. La surface maximale est 45×15=675 m². Vérification : coût = 2 000×45 + 6 000×15 = 90 000 + 90 000 = 180 000 FCFA.
2. Le budget est ramené à 150 000 FCFA. Calculer la nouvelle surface maximale et expliquer si la perte de surface est proportionnelle à la baisse du budget.
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Avec 150 000 FCFA, x+3y=75, donc S(y)=75y−3y². La dérivée 75−6y s'annule pour y=12,5 m, x=75−37,5=37,5 m. S=37,5×12,5=468,75 m². Le rapport des surfaces est 468,75/675≈0,694, alors que le rapport des budgets est 150/180≈0,833. La perte n'est pas proportionnelle : la surface maximale varie comme le carré du budget à coefficients fixes, donc une baisse de 16,7 % du budget entraîne ici une baisse d'environ 30,6 % de la surface.
3. Évaluer l'affirmation du président selon laquelle un carré est toujours optimal.
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Si x=y, le coût est 2 000x + 6 000x = 8 000x = 180 000, donc x=22,5 m et S=506,25 m², inférieure à 675 m². Le carré n'est optimal que si le coût au mètre est identique sur les quatre côtés. Ici, le côté fleuve coûte moins cher : il faut l'allonger et réduire les largeurs, plus coûteuses. L'affirmation est donc fausse dans ce contexte.