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On décompose : 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Le PGCD se forme avec les facteurs communs affectés du plus petit exposant, soit 2 × 3 × 7 = 42. On vérifie que 84/42 = 2 et 126/42 = 3, deux entiers premiers entre eux.
Une hausse de 8 % multiplie par 1,08 et une baisse de 8 % multiplie par 0,92. Le facteur global vaut 1,08 × 0,92 = 0,9936, donc le prix final est 12 500 × 0,9936 = 12 420 F CFA. Les pourcentages ne s'annulent pas car ils ne portent pas sur la même base.
On regroupe les termes en x : 5x − 2x = 11 + 7, soit 3x = 18. En divisant par 3 on obtient x = 6. La vérification donne 5×6 − 7 = 23 et 2×6 + 11 = 23, donc l'égalité est bien satisfaite.
Le théorème de Pythagore donne h² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. L'hypoténuse vaut donc √225 = 15 cm. C'est le triplet pythagoricien classique (9 ; 12 ; 15), multiple de (3 ; 4 ; 5).
On dérive terme à terme : la dérivée de 3x² est 6x, celle de −5x est −5, et la constante 2 a pour dérivée 0. On obtient donc f'(x) = 6x − 5. La règle utilisée est (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹.
Le dixième terme vaut u₁₀ = 3 + 9×4 = 39. La somme se calcule par S = n(u₁ + uₙ)/2 = 10 × (3 + 39)/2 = 10 × 21 = 210. On peut aussi utiliser S = n(2u₁ + (n−1)r)/2.
Les nombres premiers possibles sur un dé sont 2, 3 et 5, soit 3 issues favorables sur 6 issues équiprobables. La probabilité vaut donc 3/6 = 1/2. Il ne faut pas compter 1, qui n'est pas premier.
Le coefficient directeur vaut (y_B − y_A)/(x_B − x_A) = (13 − 5)/(6 − 2) = 8/4 = 2. La droite a donc pour équation y = 2x + 1. La pente mesure la variation verticale pour une unité horizontale.
On applique l'identité remarquable (a − b)² = a² − 2ab + b² avec a = 2x et b = 3. Cela donne 4x² − 2(2x)(3) + 9 = 4x² − 12x + 9. Le terme croisé −12x est indispensable.
Le nombre de filles est 40 × 0,60 = 24. Parmi elles, 25 % font du latin, soit 24 × 0,25 = 6 élèves. On multiplie les deux proportions : 0,60 × 0,25 = 0,15, et 40 × 0,15 = 6.
On décompose : 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3². Le PPCM se forme avec tous les facteurs affectés du plus grand exposant, soit 2² × 3² = 36. On vérifie que 36/12 = 3 et 36/18 = 2.
Pour une fonction du type ax² + bx + c, l'abscisse du sommet vaut −b/(2a). Ici a = 1 et b = −4, donc x = 4/2 = 2. L'ordonnée correspondante est f(2) = 4 − 8 + 1 = −3.
On cherche l'exposant n tel que 2ⁿ = 32. Or 32 = 2⁵, donc log₂(32) = 5. Le logarithme de base 2 donne la puissance de 2 correspondante.
La somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°. On a donc 180 − 45 − 60 = 75°. Le troisième angle mesure bien 75°.
On isole le terme en x : −3x ≤ −6. En divisant par −3, nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse, ce qui donne x ≥ 2. La solution est donc l'intervalle [2 ; +∞[.
La somme vaut S = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q) = 2(1 − 3⁵)/(1 − 3) = 2(1 − 243)/(−2) = 2 × 121 = 242. Les termes sont 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 et leur somme est bien 242.
Une fonction quotient n'est pas définie lorsque son dénominateur est nul. On résout x − 3 = 0, soit x = 3. En ce point, la division par zéro est impossible.
Une primitive de 6x est 3x² et une primitive de 4 est 4x, donc F(x) = 3x² + 4x + C. La condition F(0) = 0 impose C = 0, ce qui donne F(x) = 3x² + 4x.
Dans un triangle rectangle dont un angle aigu mesure 30°, le côté opposé est la moitié de l'hypoténuse. Le sinus, rapport du côté opposé à l'hypoténuse, vaut donc 1/2. C'est une valeur remarquable à connaître.
Avec les intérêts composés, le capital est multiplié par 1,05 chaque année. Après 2 ans : 200 000 × 1,05² = 200 000 × 1,1025 = 220 500 F CFA. Les intérêts de la seconde année portent aussi sur les intérêts de la première.
Le discriminant vaut Δ = 25 − 24 = 1, donc les racines sont (5 ± 1)/2, soit 2 et 3. On peut aussi factoriser : x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
La dérivée est f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Elle est positive à l'extérieur des racines, c'est-à-dire sur ]−∞ ; −1] et sur [1 ; +∞[. Sur ces intervalles, f est donc strictement croissante.
La probabilité d'une rouge au premier tirage est 4/10. Sans remise, il reste 3 rouges sur 9 boules, soit 3/9. Le produit donne (4/10) × (3/9) = 12/90 = 2/15.
Le numérateur et le dénominateur sont tous deux de degré 2. La limite en +∞ est alors le rapport des coefficients dominants, soit 3/1 = 3. On peut aussi factoriser par x² en haut et en bas.
Pour chaque objet, on a 5 choix possibles, et les objets sont distincts. Le nombre total est donc 5 × 5 × 5 = 5³ = 125. Il s'agit d'arrangements avec répétition.
On additionne les exposants au numérateur : 2³ × 2⁴ = 2⁷. On soustrait ensuite l'exposant du dénominateur : 2⁷ ÷ 2⁵ = 2² = 4. La règle des puissances de même base s'applique ici directement.
Le bénéfice vaut 12 % de 25 000, soit 0,12 × 25 000 = 3 000 F CFA. Le prix de vente est donc 25 000 + 3 000 = 28 000 F CFA. On peut aussi multiplier directement par le coefficient 1,12.
On décompose : 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Le PGCD est le produit des facteurs communs affectés du plus petit exposant, soit 2 × 3 × 7 = 42. On vérifie que 84 ÷ 42 = 2 et 126 ÷ 42 = 3, entiers premiers entre eux.
On reconnaît une différence de deux carrés : a² − b² = (a − b)(a + b), avec a = x et b = 3. Donc x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Le développement donne bien x² + 3x − 3x − 9 = x² − 9.
On additionne les notes : 8 + 12 + 15 + 9 + 16 = 60. On divise par l'effectif 5 : 60 ÷ 5 = 12. La moyenne est donc 12 sur 20.
L'équation est de la forme y = 3x + b. En remplaçant par les coordonnées de A : 2 = 3 × 1 + b, donc b = −1. La droite a pour équation y = 3x − 1.
On cherche le plus grand multiple de 7 inférieur à 1 000 : 7 × 142 = 994. Le reste vaut 1 000 − 994 = 6, et il est bien inférieur à 7.
Dans un triangle équilatéral coupé par une hauteur, l'angle de 60° a pour cosinus le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse, soit 1/2. C'est une valeur remarquable à connaître par cœur.
Il y a 36 issues équiprobables. Les couples donnant 7 sont (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2) et (6;1), soit 6 cas favorables. La probabilité vaut donc 6/36 = 1/6.
On résout 2x + 5 = 11, soit 2x = 6 et x = 3. L'antécédent de 11 par f est donc 3. On vérifie : f(3) = 6 + 5 = 11.
Le discriminant vaut Δ = b² − 4ac avec a = 2, b = −7 et c = 3. Donc Δ = 49 − 4 × 2 × 3 = 49 − 24 = 25. Comme Δ > 0, l'équation admet deux racines réelles distinctes.
Le terme général est uₙ = u₁ + (n − 1)r. Donc u₁₀ = 5 + 9 × (−2) = 5 − 18 = −13. On compte bien 9 pas entre le premier et le dixième terme.
On dérive terme à terme : f'(x) = 3x² − 12x. En x = 2, on obtient 3 × 4 − 12 × 2 = 12 − 24 = −12. La dérivée mesure la pente de la tangente en ce point.
Le nombre total de tirages est C(8;2) = 28. Les tirages favorables sont deux blanches C(5;2) = 10 ou deux noires C(3;2) = 3, soit 13 cas. La probabilité vaut donc 13/28.
Le numérateur et le dénominateur sont tous deux de degré 1. La limite en +∞ est le rapport des coefficients dominants, soit 5/2. On peut aussi diviser numérateur et dénominateur par x.
On écrit 81 sous forme de puissance de 3 : 81 = 3⁴. L'équation devient 3^x = 3⁴, donc x = 4 par injectivité de la fonction exponentielle de base 3.
Les multiples de 3 sont 3, 6, 9, 12, 15, 18 (6 jetons) et ceux de 5 sont 5, 10, 15, 20 (4 jetons). L'intersection contient 15, compté deux fois. On obtient 6 + 4 − 1 = 9 cas favorables sur 20, soit 9/20.
Pour ax² + bx + c = 0, la somme des racines vaut −b/a. Ici a = 1 et b = −7, donc la somme vaut 7. On vérifie avec les racines 2 et 5, dont la somme est bien 7.
Il y a 50 termes (de 2 × 1 à 2 × 50). La somme d'une suite arithmétique vaut (premier + dernier) × nombre de termes ÷ 2, soit (2 + 100) × 50 ÷ 2 = 2 550.
On complète le carré : x² + 6x = (x + 3)² − 9. Donc x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. Cette forme fait apparaître le sommet (−3 ; −4).
On multiplie les coefficients : 1,10 × 0,90 = 0,99. La population a donc été multipliée par 0,99, soit une baisse globale de 1 %. Les pourcentages ne s'additionnent pas.
Le livre imposé occupe la place de gauche ; il reste 3 livres à permuter sur les 3 places restantes. Le nombre de rangements vaut 3! = 6.
On dérive : f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). La dérivée s'annule en −1 et 1, et change de signe de positif à négatif en x = −1 : c'est un maximum local. On calcule f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3.
La somme d'une série géométrique de premier terme a = 1 et de raison q = 1/2 avec |q| < 1 vaut a/(1 − q). On obtient 1/(1 − 1/2) = 2. La suite des sommes partielles converge vers 2.
On applique la formule (ln u)' = u'/u avec u = x² + 1, donc u' = 2x. La dérivée est donc 2x/(x² + 1). Le dénominateur reste toujours strictement positif.