Mathématiques : analyse, algèbre et rédaction de la démonstration
L'épreuve de mathématiques du concours d'entrée à l'ENI porte sur le programme de terminale scientifique : analyse (limites, continuité, dérivation, intégration, suites), algèbre (nombres complexes, calcul matriciel) et probabilités élémentaires. Elle teste autant la technicité du calcul que la capacité à rédiger une démonstration : une réponse juste mais non justifiée ne rapporte qu'une partie des points.
Réflexes de calcul
- En ±∞, factoriser par le terme dominant, y compris dans une fraction rationnelle ou sous une racine.
- Devant une différence de racines carrées, multiplier par la quantité conjuguée.
- Une forme indéterminée « 0/0 » provenant d'un taux d'accroissement se traite par la définition de la dérivée.
- Pour les suites, étudier d'abord monotonie et caractère borné avant de conclure à la convergence ; une suite définie par u(n+1) = f(u(n)) se traite par récurrence et point fixe.
Exemple rédigé
Calculer la limite en 0 de f(x) = (√(1+x) − 1)/x. En x = 0, on obtient 0/0. On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué √(1+x) + 1 :
f(x) = ((1+x) − 1) / [x(√(1+x) + 1)] = x / [x(√(1+x) + 1)] = 1/(√(1+x) + 1).
La simplification exige x ≠ 0, mais la limite en 0 ne dépend pas de la valeur en 0 : f(x) tend vers 1/2. Vérification par la dérivée : f est le taux d'accroissement de √(1+x) en 0, soit 1/(2√1) = 1/2.
Pièges qui coûtent des points
Écrire une équivalence sans préciser le domaine ; oublier que le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence et non l'unicité (ajouter la stricte monotonie) ; dériver une fonction composée en oubliant la dérivée interne ; confondre primitive et dérivée ; laisser un résultat sans conclusion rédigée.