Wiskunde: modellen, afgeleiden en optimaliseren
Het wiskundedeel toetst of je modellen kunt opstellen, analyseren en optimaliseren: functies, afgeleiden, exponentiële groei en verval, en statistiek, toegepast op meetreeksen en ontwerpen. Vaak is de wiskunde het gereedschap en niet het doel: je moet kunnen uitleggen wat een helling of een asymptoot in de context betekent.
Gereedschap
- Exponentieel verval: N(t) = N₀·½^(t/t½) = N₀·e^(−λt), met λ = ln 2 / t½.
- Optimaliseren: druk de grootheid uit in één variabele, stel de afgeleide op nul, en controleer met de tweede afgeleide of met de randvoorwaarden of het echt een minimum of maximum is.
- Bij een logaritmische schaal hoort een factor 10 bij een vast stapje; lees een grafiek altijd af op de assen zoals ze gelabeld zijn.
Uitgewerkt voorbeeld
Een cilindrische opslagtank van 1,00 m³ moet zo weinig mogelijk plaatmateriaal kosten. Met V = πr²h vast geldt h = V/(πr²). Het oppervlak is A = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 2V/r. Dan is dA/dr = 4πr − 2V/r². Nul stellen geeft r³ = V/(2π) = 0,159 m³, dus r = 0,542 m en h = 1,00/(π·0,2937) = 1,084 m. Conclusie: de hoogte is gelijk aan de diameter. Invullen geeft A = 2π·0,2937 + 2·1,00/0,542 = 1,85 + 3,69 = 5,53 m². De tweede afgeleide 4π + 4V/r³ is positief, dus dit is inderdaad een minimum.
Valkuilen
- De randvoorwaarde vergeten: een minimum binnen het toegestane bereik is niet automatisch het antwoord.
- De afgeleide naar de verkeerde variabele nemen terwijl een andere variabele vastligt.
- Bij exponentiële groei de groeifactor en de groeisnelheid door elkaar halen.
- Een grafiek lineariseren zonder te benoemen welke grootheden je tegen elkaar uitzet.